高二数学必修 5 正弦定理教学目标：掌握正弦定理推导过程，会利用正弦定理证明简单三角形问题，会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：正弦定理证明及应用.教学难点：正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路.教学过程：Ⅰ.课题导入在初中，我们已经会解直角三角形.就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系.＝＝ 那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢?这也是我们这一节课将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课对于＝＝这一关系的证明，我们一起来看下面的证法.如图，在△ABC 中，已知 BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圆，O 为圆心，连接 BO 并延长交圆于 B′，设 BB′＝2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′∴sinC＝sinB′＝ ∴＝2R同理可得＝2R，＝2R∴＝＝＝2R这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立.因此，我们得到下面的定理.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即＝＝说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢?向量的数量积的定义式：a·b＝｜a｜｜b｜cosθ，其中 θ 为两向量的夹角.但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢?用心 爱心 专心可以通过三角函数的诱导公式sinθ＝cos(90°－θ)进行转化.这一转化产生了新角 90°－θ，这就为辅助向量 j 的添加提供了线索，为方便进一步的运算，辅助向量选取了单位向量 j，而 j 垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了 90°－θ 这一形式，这是作辅助向量 j 垂直于三角形一边的原因.在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得AC＋CB＝AB.而添加垂直于AC的单位向量 j 是关键，为了产生 j 与AB、AC、CB的数量积，而在上面...
