2018 高考数学异构异模复习考案 第五章 平面向量 5.2.1 平面向量的数量积撬题 理1．已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝( )A．－a2 B．－a2C.a2 D.a2答案 D解析 在菱形 ABCD 中，BA＝CD，BD＝BA＋BC，所以BD·CD＝(BA＋BC)·CD＝BA·CD＋BC·CD＝a2＋a×a×cos60°＝a2＋a2＝a2.2．△ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是( )A．|b|＝1 B．a⊥bC．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥BC答案 D解析 AB＝2a，AC＝2a＋b，∴a＝AB，b＝AC－AB＝BC， △ABC 是边长为 2 的等边三角形，∴|b|＝2，a·b＝AB·BC＝－1，故 a，b 不垂直，4a＋b＝2AB＋BC＝AB＋AC，故(4a＋b)·BC＝(AB＋AC)·BC＝－2＋2＝0，∴(4a＋b)⊥BC，故选 D.3.设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4.若点 M，N 满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝( )A．20 B．15C．9 D．6答案 C解析 选择AB，AD为基向量． BM＝3MC，∴AM＝AB＋BM＝AB＋BC＝AB＋AD，又DN＝2NC，∴NM＝NC＋CM＝AB－AD，于是AM·NM＝·＝(4AB＋3AD)·(4AB－3AD)＝(16|AB|2－9|AD|2)＝9，故选 C.4.若非零向量 a，b 满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则 a 与 b 的夹角为( )A. B.C. D．π答案 A解析 由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即 a·b＝3a2－2b2.又|a|＝|b|，所以 a·b＝32－2b2＝b2，所以 cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝，故选 A.5．若向量 a，b 满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )A．2 B.C．1 D.答案 B解析 (a＋b)⊥a，|a|＝1，∴(a＋b)·a＝0，∴|a|2＋a·b＝0，∴a·b＝－1.又 (2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)·b＝0.∴2a·b＋|b|2＝0.∴|b|2＝2.∴|b|＝，选 B.6．平面向量 a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m＝( )A．－2 B．－1C．1 D．2答案 D解析 a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝m(1,2)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．又 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，∴cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉．∴＝.即＝，解得 m＝2.7．已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________．答案 90°解析 由AO＝(AB＋AC)可得 O 为 BC 的中点，则 BC 为圆 O 的直径，即∠BAC＝90°，故AB与AC的夹角为 90°.8．已知向量 a，b 满足|a|＝1，b＝(2,1)，且 λa＋b＝0(λ∈R...
