活页作业(四) 平均值不等式一、选择题1．设 0＜a＜b，a＋b＝1，则下列不等式正确的是( )A．b＜2ab＜＜a2＋b2B．2ab＜b＜a2＋b2＜C．2ab＜a2＋b2＜b＜D．2ab＜a2＋b2＜＜b解析： 0＜a＜b 且 a＋b＝1，∴0＜a＜b＜1.∴a2＋b2＞2ab，b＞a2＋b2，且＞b.故 2ab＜a2＋b2＜b＜.答案：C2．下列不等式正确的是( )A．a＋b≥2 B．a3＋b3＋c3≥3abcC．≥ab D．≥解析：选项 A，B，D 忽视了 a，b，c 的条件应为正实数．答案：C3．设函数 f(x)＝2x＋－1(x＜0)，则函数 f(x)( )A．有最大值 B．有最小值C．是增函数 D．是减函数解析：因为 x＜0，所以 f(x)＝－－2x＋－1≤－2－1＝－2－1，当且仅当－2x＝，即 x＝－时取等号．所以函数 f(x)有最大值－2－1.答案：A4．已知 x＞0，y＞0，若不等式＋＞m2＋2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4)D．(－4,2)解析：有＋≥2＝8，要使不等式＋＞m2＋2m恒成立，则 m2＋2m＜8.解得－4＜m＜2.答案：D二、填空题5．若 x＞0，则函数 f(x)＝x＋的最小值是________.解析：因为 x＞0，所以 f(x)＝x＋＝＋＋≥3＝6，当且仅当＝＝，即 x＝4 时取等号．答案：66．若对任意 x＞0，关于 x 的不等式≤a 恒成立，则实数 a 的取值范围是________.解析：由 x＞0，知原不等式等价于不等式 0＜≤＝x＋＋3 恒成立．所以≤min＝5，即 0＜≤5.解得 a≥.答案：三、解答题7．设单位圆的内接三角形的面积为，三边长分别为 a，b，c 且不全相等，求证：＋＋＞＋＋.1证明： 三角形的面积 S＝absin C＝，＝2，∴abc＝1.∴＋＋＝＋＋＝bc＋ac＋ab＝≥c＋a＋b＝(＋＋)＝＋＋，当且仅当 a＝b＝c 时取等号． 三边长 a，b，c 不全相等，∴＋＋＞＋＋.8．已知 a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，求 4a＋4b＋4c2的最小值，并求出取最小值时 a，b，c 的值．解：显然 4a>0,4b>0,4c2＞0.则 4a＋4b＋4c2≥3，当且仅当 a＝b＝c2时取等号．因为 a＋b＋c＝1，所以 a＋b＝1－c.所以 a＋b＋c2＝c2－c＋1＝2＋.所以当 c＝时，a＋b＋c2取得最小值.从而当 a＝b＝，c＝时，4a＋4b＋4c2取得最小值，且最小值为 3.一、选择题1．给出下列不等式：① x＋≥2；②≥2；③若0＜a＜1＜b，则 logab＋logba≤－2；④若 0＜a＜1＜b，则 logab＋logba≥2.其中正确的是( )A．②④ B．①②C．②③ D．①②④解析：①当 x＞0 时，x＋≥2；当 x＜0 时，x...
