课时跟踪检测（四） 数学归纳法一、基本能力达标1．设 f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么 f(n＋1)－f(n)等于( )A. B.＋C.＋ D.＋＋解析：选 D 要注意末项与首项，所以 f(n＋1)－f(n)＝＋＋.2．在用数学归纳法证明“2n>n2对从 n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的 n0＝( )A．1 B．3C．5D．7解析：选 C n 的取值与 2n，n2的取值如下表：n123456……2n248163264……n2149162536……由于 2n的增长速度要远大于 n2的增长速度，故当 n>4，即 n≥5 时，恒有 2n>n2.3．一个与正整数 n 有关的命题，当 n＝2 时命题成立，且由 n＝k 时命题成立可以推得 n＝k＋2 时命题也成立，则( )A．该命题对于 n＞2 的自然数 n 都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与 k 取值无关D．以上答案都不对解析：选 B 由 n＝k 时命题成立可推出 n＝k＋2 时命题也成立，又 n＝2 时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选 B.4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，不等式左边的变化情况为( )A．增加B．增加＋C．增加＋，减少D．增加，减少解析：选 C 当 n＝k 时，不等式的左边＝＋＋…＋，当 n＝k＋1 时，不等式的左边＝＋＋…＋，又＋＋…＋－＝＋－，所以由 n＝k 到 n＝k＋1 时，不等式的左边增加＋，减少.5．对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当 n＝1 时， ＜1＋1，不等式成立．(2)假设当 n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当 n＝k＋1 时，＝＜ ＝＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1 时，不等式成立，则上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1 验得不正确C．归纳假设不正确D．从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正确解析：选 D 在 n＝k＋1 时，没有应用 n＝k 时的归纳假设，故选 D.6．用数学归纳法证明＋＋…＋＝，推证当 n＝k＋1 时等式也成立时，只需证明等式____________________________________成立即可．1解析：当 n＝k＋1 时，＋＋…＋＋＝＋，故只需证明＋＝即可．答案：＋＝7．数列{an}满足 an>0(n∈N＋)，Sn为数列{an}的前 n 项和，并且满足 Sn＝，求 S1，S2，S3的值，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法证明．解：由 an>0，得 Sn>0，由 a1＝S1＝，整理得 a＝1，取正根得 a1＝1，所以 S1＝1.由 S2＝及 a2＝S2－S1＝S2－1，得 S2＝，整理得 S＝2，取正根得 ...
