高中数学 第四章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.2 函数的极大值和极小值分层训练 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP免费

4.3.2 函数的极大值和极小值一、基础达标1.函数 y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有( )A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个答案 A解析 当满足 f′(x)＝0 的点，左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0 时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．2．“函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 B解析 对于 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出 f(x)在 x＝0 处取极值，反之成立．故选 B.3．若 a＞0，b＞0，且函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2 在 x＝1 处有极值，则 ab 的最大值等于( )A．2 B．3 C．6 D．9答案 D解析 f′(x)＝12x2－2ax－2b， f(x)在 x＝1 处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又 a＞0，b＞0，∴a＋b≥2，∴2≤6，∴ab≤9，当且仅当 a＝b＝3 时等号成立，∴ab 的最大值为 9.4．函数 y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值 5，极小值－27B．极大值 5，极小值－11C．极大值 5，无极小值D．极小值－27，无极大值答案 C解析 由 y′＝3x2－6x－9＝0，得 x＝－1 或 x＝3，当 x＜－1 或 x＞3 时，y′＞0，当－1＜x＜3 时，y′<0.故当 x＝－1 时，函数有极大值 5；x 取不到 3，故无极小值．5．函数 f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令 3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即 x2＋2ax＋a＋2＝0， 函数 f(x)有极大值和极小值，∴方程 x2＋2ax＋a＋2＝0 有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得 a＞2 或 a＜－1.16．若函数 y＝x3－3ax＋a 在(1,2)内有极小值，则实数 a 的取值范围是________．答案 (1,4)解析 y′＝3x2－3a，当 a≤0 时，y′≥0，函数 y＝x3－3ax＋a 为单调函数，不合题意，舍去；当 a＞0 时，y′＝3x2－3a＝0⇒x＝±，不难分析，当1＜＜2，即 1＜a＜4 时，函数 y＝x3－3ax＋a 在(1,2)内有极小值．7．求函数 f(x)＝x2e－x的极值．解 函数的定义域为 R，f′(x)＝2xe－x＋x2·′＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2.当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2...