七、数列与函数（方程）的综合应用：数列与函数的结合，利用函数的性质体现数列的变化。典型例题：例 1.设函数，是公差不为 0 的等差数列，，则【 】A、0 B、7 C、14 D、21【答案】D。【考点】高次函数的性质，等差数列性质。【解析】 是公差不为 0 的等差数列，记公差为。 ∴。 则 。 ，∴。设，则。∴。故选 D。例 2.公比为等比数列的各项都是正数，且，则【 】 【答案】。【考点】等比数列，分数指数幂，对数。【解析】 是等比数列，且，∴。 又 等比数列的各项都是正数，∴。 ∴。 ∴。故选。例 3.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①；②；③；④。则其中是“保等比数列函数”的的序号为【 】A.①② B.③④ C.①③ D.②④【答案】C。【考点】等比数列的判定，新定义。【解析】逐一检验：令等比数列的公比为，① 对， ，∴是等比数列；② 对， 不一定是常数，∴不一定是等比数列； ③ 对， ，∴是等比数列；④ 对，举个特例，令是等差数列不是等比数列。从而是“保等比数列函数”的的序号为①③，故选 C。例 4. 观察下列事实的不同整数解的个数为 4 ，的不同整数解的个数为8，的不同整数解的个数为 12 ….则的不同整数解的个数为【 】A.76 B.80 C.86 D.92【答案】B。【考点】归纳推理，等差数列的应用。【解析】观察可得不同整数解的个数 4，8，12，…可以构成一个首项为 4，公差为 4 的等差数列，通项公式为，则所求为第 20 项，所以。故选 B。例 5.已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 ▲ 【答案】。【考点】数列的概念、组成和性质，函数的概念。【解析】根据题意，，并且，得到。 当为奇数时，，，，，。 当为偶数时，由，得到，解得（负值舍去）。 由得，解得。 ∴当为偶数时，。 ∴。例 6.）已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。【答案】解：（Ⅰ）取 n=1，得 ① 取 n=2，得 ②由②－①，得 ③ （1）若=0, 由①知=0。 （2）若，则, ④ 由①④得：。（Ⅱ）当时，由（I）知，。当时，有⑤ ， ⑥，⑤－⑥，即∴=。∴。 令，则 ∴数列{}是以为公差，且单调递减的等差数列。∴b1>b2>b3>…>b7=；当 n≥8 时，bn≤b8=。∴n=7 时...
