7.3 解析几何(压轴题)命题角度 1 曲线与轨迹问题 高考真题体验·对方向1.(2017 全国Ⅱ·20)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: +y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足.(1)求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且=1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.(1)解设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得 x0=x,y0=y.因为 M(x0,y0)在 C 上,所以=1.因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2.(2)证明由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1 得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.2.(2016 全国Ⅲ·20)已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2分别交 C于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点.(1)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明:AR∥FQ;(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.(1)证明由题知 F.设 l1:y=a,l2:y=b,则 ab≠0,且 A,B,P,Q,R.记过 A,B 两点的直线为 l,则 l 的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.由于 F 在线段 AB 上,故 1+ab=0.记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,则 k1==-b=k2.所以 AR∥FQ.(2)解设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0),则 S△ABF= |b-a||FD|= |b-a|,S△PQF=.由题设可得 |b-a|,所以 x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y).当 AB 与 x 轴不垂直时,由 kAB=kDE可得(x≠1).而=y,所以 y2=x-1(x≠1).当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合.所以所求轨迹方程为 y2=x-1.新题演练提能·刷高分1.(2018 山西太原二模)已知以点 C(0,1)为圆心的动圆 C 与 y 轴负半轴交于点 A,其弦 AB 的中点 D 恰好落在 x 轴上.(1)求点 B 的轨迹 E 的方程;(2)过直线 y=-1 上一点 P 作曲线 E 的两条切线,切点分别为 M,N.求证:直线 MN 过定点.(1)解设 B(x,y),则 AB 的中点 D,y>0. C(0,1),则,在☉C 中, DC⊥DB,∴=0,∴- +y=0,即 x2=4y(y>0).∴点 B 的轨迹 E 的方程为 x2=4y(y>0).(2)证明由已知条件可得曲线 E 的方程为 x2=4y,设点 P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2). y= ,∴y'= ,∴过点 M、N 的切线方程分别为 y-y1= (x-x1),y-y2= (x-x2).由...
