3.1.3 空间向量的数量积运算1.下列命题中,不正确的有( D )①=|a|;②m(λa)·b=(mλ)a·b;③a·(b+c)=(b+c)·a;④a2b=b2a.(A)4 个(B)3 个 (C)2 个 (D)1 个解析:①②③ 正确,④ 不正确,因为等式左边表示与 b 共线的向量,右边表示与 a 共线的向量,两者方向不一定相同.故选 D.2.正方体 ABCD A′B′C′D′中,<,>等于( D )(A)30° (B)60° (C)90° (D)120°解析:因为 B′D′∥BD,所以 A′B,B′D′的夹角即为 A′B,BD 的夹角.因为△A′BD 为正三角形,所以∠A′BD=60°.由向量夹角的定义可知<,>=120°,即<,>=120°.故选 D.3.若 a,b 均为非零向量,则 a·b=|a||b|是 a 与 b 共线的( A )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件解析:若 a·b=|a||b|,则
=0°,所以 a 与 b 共线;反之,若 a 与 b 共线,则=0°或180°,a·b=±|a||b|.故选 A.4.在正方体 ABCD A1B1C1D1中,有下列命题:①(++)2=3;②·(-)=0;③与的夹角为 60°.其中正确命题的个数是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)0解析:①,② 均正确;③ 不正确,因为与夹角为 120°.5.在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中,M,N 分别是 A1B1,BB1的中点,那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为( B )(A)- (B) (C) (D)1解析:如图,由图知直线 AM 与 CN 所成角等于<,>,=+,=+,所以·=(+)·(+)=·+·+·+·= ,||===,||==.所以 cos<,>=== .6.已知|a|=1,|b|=,且 a-b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为( D )(A)60° (B)30° (C)135° (D)45°解析:因为 a-b 与 a 垂直,所以(a-b)·a=0,所以 a·a-a·b=|a|2-|a|·|b|·cos=1-1··cos=0,所以 cos=.因为 0°≤≤180°,所以=45°.7.已知四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,连接 AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是( A )(A)与 (B)与(C)与 (D)与2解析:因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥CD,故·=0,排除 D;因为 AD⊥AB,PA⊥AD,又 PA∩AB=A,所以 AD⊥平面 PAB,所以 AD⊥PB,故·=0,排除 B;同理·=0,排除 C.故选 A.8. 设 a,b,c 是 任 意 的 非 零 空 间 向 量 , 且 它 们 互 不 共 线 , 给 出 下 列 命 题 :①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·a)c-(c·a)b 一定不与 c 垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的是( D )(A)①② (B)②③ (C...
