第 2 讲 综合大题部分1
(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF
(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD；(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．解析：(1)证明：由已知可得 BF⊥PF，BF⊥EF，所以 BF⊥平面 PEF
又 BF⊂平面 ABFD，所以平面 PEF⊥平面 ABFD
(2)如图，作 PH⊥EF，垂足为 H
由(1)得，PH⊥平面 ABFD
以 H 为坐标原点，HF的方向为 y 轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz
由(1)可得，DE⊥PE
又 DP＝2，DE＝1，所以 PE＝
又 PF＝1，EF＝2，所以 PE⊥PF
所以 PH＝，EH＝
则 H(0,0,0)，P，D，DP＝，HP＝
又HP为平面 ABFD 的法向量，设 DP 与平面 ABFD 所成角为 θ，则 sin θ＝＝＝
所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为
2．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥 PABC 中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点．(1)证明：PO⊥平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值．解析：(1)证明：因为 PA＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP＝2
如图，连接 OB
因为 AB＝BC＝AC，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB＝AC＝2
由 OP2＋OB2＝PB2知 PO⊥OB
由 OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，得 PO⊥平面 ABC
(2)如图，以 O 为坐标原点，OB的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 Oxy
