第 2 讲 综合大题部分1.(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF.(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD；(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．解析：(1)证明：由已知可得 BF⊥PF，BF⊥EF，所以 BF⊥平面 PEF.又 BF⊂平面 ABFD，所以平面 PEF⊥平面 ABFD.(2)如图，作 PH⊥EF，垂足为 H.由(1)得，PH⊥平面 ABFD.以 H 为坐标原点，HF的方向为 y 轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz.由(1)可得，DE⊥PE.又 DP＝2，DE＝1，所以 PE＝.又 PF＝1，EF＝2，所以 PE⊥PF.所以 PH＝，EH＝.则 H(0,0,0)，P，D，DP＝，HP＝.又HP为平面 ABFD 的法向量，设 DP 与平面 ABFD 所成角为 θ，则 sin θ＝＝＝.所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥 PABC 中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点．(1)证明：PO⊥平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值．解析：(1)证明：因为 PA＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP＝2.如图，连接 OB.因为 AB＝BC＝AC，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB＝AC＝2.由 OP2＋OB2＝PB2知 PO⊥OB.由 OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，得 PO⊥平面 ABC.(2)如图，以 O 为坐标原点，OB的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz.由已知得 O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0，2)，AP＝(0,2,2)．取平面 PAC 的一个法向量OB＝(2,0,0)．设 M(a,2－a,0)(0≤a≤2)，则AM＝(a,4－a,0)．设平面 PAM 的法向量为 n＝(x，y，z)．由AP·n＝0，AM·n＝0 得可取 y＝a，得平面 PAM 的一个法向量为 n＝((a－4)，a，－a)，所以 cos 〈OB，n〉＝.由已知可得|cos〈OB，n〉|＝cos 30°＝，所以＝，解得 a＝－4(舍去)或 a＝.所以 n＝.又PC＝(0,2，－2)，所以 cos〈PC，n〉＝.所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为.3．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥 PABCD 中， AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD；(2)若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角 APBC的余弦值．解析：(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得 AB⊥AP，CD⊥PD.由于 AB∥CD，故...
