课时作业 47 利用空间向量证明空间中的位置关系1 ． 如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 为 正 方 形 ， 侧 棱 PA⊥ 底 面 ABCD ， 且 PA ＝ AD ＝2，E，F，H 分别是线段 PA，PD，AB 的中点．求证：(1)PB∥平面 EFH；(2)PD⊥平面 AHF.证明：建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．(1) E，H 分别是线段 AP，AB 的中点，∴PB∥EH. PB⊄平面 EFH，且 EH⊂平面 EFH，∴PB∥平面 EFH.(2)PD＝(0,2，－2)，AH＝(1,0,0)，AF＝(0,1,1)，∴PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD·AH＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.∴PD⊥AF，PD⊥AH.又 AF∩AH＝A，∴PD⊥平面 AHF.2．如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点 D 是 AB 的中点.(1)证明 AC⊥BC1；(2)证明 AC1∥平面 CDB1.证明：因为直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长分别为 AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以△ABC为直角三角形，AC⊥BC.所以 AC，BC，C1C 两两垂直．如图，以 C 为坐标原点，直线 CA，CB，CC1分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,4)，A1(3,0,4)，B1(0,4,4)，D.(1)因为AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4，4)，所以AC·BC1＝0，所以 AC⊥BC1.(2)设 CB1与 C1B 的交点为 E，连接 DE，则 E(0,2,2)，DE＝，AC1＝(－3,0,4)，所以DE＝AC1，DE∥AC1.因为 DE⊂平面 CDB1，AC1⊄平面 CDB1，所以 AC1∥平面 CDB1.3．如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1C1C 是边长为 4 的正方形．平面 ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面 ABC；(2)证明：在线段 BC1上存在点 D，使得 AD⊥A1B，并求的值．证明：(1)因为 AA1C1C 为正方形，所以 AA1⊥AC.因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C，AA1⊂平面 AA1C1C，且 AA1垂直于这两个平面的交线 AC，所以 AA1⊥平面 ABC.(2)由(1)知 AA1⊥AB，AA1⊥AC.由题知 AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以 AB⊥AC.如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz，则 B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．设 D(x，y，z)是直线 BC1上的一点，且BD＝λBC1，所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)，解得 x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ，所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD·A1B＝0，A1B＝(0,3，－4)，则 9－25λ＝0，解得 λ＝.因为∈[0,1]，所以...
