课时作业(十八) 空间向量的数量积运算A 组 基础巩固1．在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：①(AA1＋AD＋AB)2＝3AB2；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为 60°
其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．0解析：①，②均正确；③不正确，因为AD1与A1B夹角为 120°
答案：B2．已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则AE·AF的值为( )A．a2 B
a2解析：AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝＝a2
答案：C3．已知四边形 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，连接 AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A
PC与BD B
DA与PBC
PD与AB D
PA与CD解析：可用排除法．因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥CD，PA·CD＝0，排除 D
又因为 AD⊥AB，所以 AD⊥PB，所以DA·PB＝0，同理PD·AB＝0，排除 B，C，故选 A
答案：A4．设 A，B，C，D 是空间中不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD 是( )A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定解析：BC·BD＝(AC－AB)·(AD－AB)＝AC·AD－AC·AB－AB·AD＋AB2＝AB2＞0，同理，可证CB·CD＞0，DB·DC＞0
所以△BCD 的每个内角均为锐角，故△BCD 是锐角三角形．答案：B5．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 a，对角线 AC1和 BD1相交于点 O，则有( )A
AB·A1C1＝2a2B
AB·AC1＝a2C
AB·AO＝a2D
BC·DA1＝a2解析： AB·AO＝AB
