课时作业(十八) 空间向量的数量积运算A 组 基础巩固1．在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：①(AA1＋AD＋AB)2＝3AB2；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为 60°.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．0解析：①，②均正确；③不正确，因为AD1与A1B夹角为 120°.答案：B2．已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则AE·AF的值为( )A．a2 B.a2 C.a2 D.a2解析：AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝＝a2.答案：C3．已知四边形 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，连接 AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC与BD B.DA与PBC.PD与AB D.PA与CD解析：可用排除法．因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥CD，PA·CD＝0，排除 D.又因为 AD⊥AB，所以 AD⊥PB，所以DA·PB＝0，同理PD·AB＝0，排除 B，C，故选 A.答案：A4．设 A，B，C，D 是空间中不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD 是( )A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定解析：BC·BD＝(AC－AB)·(AD－AB)＝AC·AD－AC·AB－AB·AD＋AB2＝AB2＞0，同理，可证CB·CD＞0，DB·DC＞0.所以△BCD 的每个内角均为锐角，故△BCD 是锐角三角形．答案：B5．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 a，对角线 AC1和 BD1相交于点 O，则有( )A.AB·A1C1＝2a2B.AB·AC1＝a2C.AB·AO＝a2D.BC·DA1＝a2解析： AB·AO＝AB·AC1＝AB·(AB＋AD＋AA1)＝(AB2＋AB·AD＋AB·AA1)＝AB2＝|AB|2＝a2.答案：C6．在空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则 cos〈OA，BC〉的值为( )A. B. C．－ D．01解析：如图所示， OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA||OC|·cos∠AOC－|OA|·|OB|·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC，∴〈OA，BC〉＝，cos〈OA，BC〉＝0.答案：D7．设向量 a 与 b 互相垂直，向理 c 与它们构成的角是 60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，则(a＋3c)·(3b－2a)＝__________.解析：(a＋3c)·(3b－2a)＝3a·b－2|a|2＋9b·c－6a·c＝－62.答案：－628．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两夹角均为 60°，且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|＝________.解析：由于AC1＝AB＋AD＋AA1，∴|AC1|2＝(AB＋AD＋AA1)2＝|AB|2＋|AD|2＋|AA1|2＋2(AB·AD＋AB·AA1＋AD·AA1)＝12＋22＋32＋2＝25，故|AC1|＝5....
