§4 用向量讨论垂直与平行课后训练案巩固提升A 组1.已知 a,b,c 分别为直线 a,b,c 的方向向量,且 a=λb(λ≠0),b·c=0,则 a 与 c 的位置关系是( )A.垂直B.平行C.相交D.异面解析:由 a=λb(λ≠0),知 a∥b.由 b·c=0,知 b⊥c,所以 a⊥c.故选 A.答案:A2.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面 ABC 的一个单位法向量是( )A.B.C.D.解析: =(-1,1,0),=(-1,0,1),=(0,-1,1).设平面 ABC 的一个单位法向量为 u=(x,y,z),则 u·=0,u·=0,可得 x,y,z 间的关系,且 x2+y2+z2=1,再求出 x,y,z 的值.答案:D3.若平面 α 的法向量为 u=(1,-3,-1),平面 β 的法向量为 v=(8,2,2),则( )A.α∥βB.α 与 β 相交C.α⊥βD.不确定解析: 平面 α 的法向量为 u=(1,-3,-1),平面 β 的法向量为 v=(8,2,2),∴u·v=(1,-3,-1)·(8,2,2)=8-6-2=0.∴u⊥v,∴α⊥β.答案:C4.给出下列命题:① 若 n1,n2分别是平面 α,β 的法向量,则 n1∥n2⇔α∥β;② 若 n1,n2分别是平面 α,β 的法向量,则 α∥β⇔n1·n2=0;③ 若 n 是平面 α 的法向量,且向量 a 与平面 α 共面,则 a·n=0;④ 若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析:①② 不正确.答案:B15.导学号 90074037 如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q 分别为棱AB,CD,BC 的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面 DCC1D1;④A1M∥平面 D1PQB1.以上结论正确的是 .(填序号) 解析: ,∴A1M∥D1P.又 D1P⫋平面 D1PQB1,∴A1M∥平面 D1PQB1.又 D1P⫋平面 DCC1D1,∴A1M∥平面 DCC1D1. D1B1与 PQ 平行不相等,∴B1Q 与 D1P 不平行.∴A1M 与 B1Q 不平行.答案:①③④6.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),=(x-1,y,-3).若,且 BP⊥平面 ABC,则实数 x,y,z的值分别为 . 解析: =(1,5,-2),=(3,1,z),,∴(1,5,-2)·(3,1,z)=0,即 3+5-2z=0,∴z=4.①又 =(x-1,y,-3),⊥平面 ABC,∴=0,即(x-1,y,-3)·(1,5,-2)=0,x-1+5y+6=0.②=0,即(x-1,y,-3)·(3,1,4)=0,3x-3+y-12=0.③由①②③得 x=,y=-,z=4.答案:,-,47.如图,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,E 是 CD 的中点,F 是 AD 上一点,当 BF⊥PE 时,AF∶FD 的值为 . 2解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为 1,PA=a.则 B(1,0,0),E,P(0,0,a).设点 F 的坐标为(0,y,0),则=(-1,y,0),. BF⊥PE,∴=0,解得...
