星期一 (三角与立体几何) 2016 年____月____日1．三角知识(命题意图：考查三角函数知识与解三角形知识的综合应用，主要涉及到三角函数关系式的恒等变换、三角函数的最值、值域求解、正弦定理、余弦定理、面积公式的应用等．)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，函数 f(x)＝2cos xsin(x－A)＋sin A(x∈R)在 x＝处取得最大值．(1)当 x∈时，求函数 f(x)的值域；(2)若 a＝7 且 sin B＋sin C＝，求△ABC 的面积．解 ∵函数 f(x)＝2cos xsin(x－A)＋sin A＝2cos xsin xcos A－2cos xcos xsin A＋sin A＝sin 2xcos A－cos 2xsin A＝sin(2x－A)．又∵函数 f(x)＝2cos xsin(x－A)＋sin A(x∈R)在 x＝处取得最大值．∴2×－A＝2kπ＋，其中 k∈Z，即 A＝－2kπ，其中 k∈Z.(1)∵A∈(0，π)，∴A＝，∵x∈，∴2x－A∈，∴－＜sin(2x－A)≤1，即函数 f(x)的值域为.(2)由正弦定理得＝，则 sin B＋sin C＝sin A，即＝×，∴b＋c＝13.由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A，即 49＝169－3bc，∴bc＝40，故△ABC 的面积为 S＝bcsin A＝×40×＝10.2．立体几何知识(命题意图：以四棱锥为载体考查线面、面面垂直的转化，考查由二面角的大小求边长的比．考查空间向量方法的应用．)已知四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，∠BAD＝120°，PA＝b.(1)求证：平面 PBD⊥平面 PAC；(2)设 AC 与 BD 交于点 O，M 为 OC 中点，若二面角O－PM－D 的正切值为 2，求 a∶b 的值．(1)证明 因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD.又 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD，所以 BD⊥平面 PAC，从而平面 PBD⊥平面 PAC.(2)解 如图，以 A 为原点，AD，AP 所在直线为 y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，b)，D(0，a，0)，M，O.从而PD＝(0，a，－b)，PM＝，OD＝.因为 BD⊥平面 PAC，所以平面 PMO 的一个法向量为OD＝.设平面 PMD 的法向量为 n＝(x，y，z)，由PD⊥n，PM⊥n 得取 x＝b，y＝b，z＝a，即 n＝.设OD与 n 的夹角为 θ，从而|tan θ|＝2，得|cos θ|＝，|cos θ|＝＝＝，整理得 4b＝3a，即 a∶b＝4∶3.
