核心素养测评三十五 等差与等比数列的综合问题(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)1.已知 1,a1,a2,9 四个实数成等差数列,1,b1,b2,b3,9 五个数成等比数列,则 b2(a2-a1)=( )A.8 B.-8 C.±8D.【解析】选 A.由 1,a1,a2,9 成等差数列,得公差 d=a2-a1== ,由 1,b1,b2,b3,9 成等比数列,得=1×9,所以 b2=±3,当 b2=-3 时,1,b1,-3 成等比数列,此时=1×(-3)无解,所以 b2=3,所以 b2(a2-a1)=3× =8.2.等差数列{an},等比数列{bn},满足 a1=b1=1,a5=b3,则 a9能取到的最小整数是( )A.-1B.0C.2D.3【解析】选 B.等差数列{an}的公差设为 d,等比数列{bn}的公比设为 q,q≠0,由 a1=b1=1,a5=b3,可得 1+4d=q2,则 a9=1+8d=1+2(q2-1)=2q2-1>-1,可得 a9能取到的最小整数是 0.3.已知在等差数列{an}中,a1>0,d>0,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a4,前 n 项和为 Tn,则 ( )A.S4>T4B.S41,数列{bn}单调递增,又 S4-T4=a2+a3-(b2+b3)=a1+a4-a1q-=a1(1-q)+a4=(a4-a1q)=(b4-b2)>0,所以 S4>T4.【一题多解】 选 A.不妨取 an=7n-4,则等比数列 {bn}的公比 q==2,所以 S4=54,T4==45,显然 S4>T4.4.(多选)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对任意的正整数 n,Sn+2=4Sn+3 恒成立,则 a1的值为( )A.3B.1C.-3D.-1【解析】选 BC.设等比数列{an}的公比为 q,当 q=1 时,Sn+2=(n+2)a1,Sn=na1,由 Sn+2=4Sn+3 得,(n+2)a1=4na1+3,即 3a1n=2a1-3,若对任意的正整数 n,3a1n=2a1-3 恒成立,则 a1=0 且 2a1-3=0,矛盾,所以 q≠1,所以 Sn=,Sn+2=,代入 Sn+2=4Sn+3 并化简得 a1(4-q2)qn=3+3a1-3q,若对任意的正整数 n 该等式恒成立,则有解得或故 a1=1 或-3.二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)5.Sn为等比数列{an}的前 n 项和.若 a1=1,且 3S1 ,2S2,S3成等差数列,则 an=________. 【解析】由 3S1,2S2,S3成等差数列,得 4S2=3S1+S3,即 3S2-3S1=S3-S2,则 3a2=a3,得公比 q=3,所以 an=a1qn-1=3n-1.答案:3n-16.已知等差数列{an}的公差和首项都不等于 0,且 a2,a4,a8成等比数列,则=________. 【解析】设公差为 d,因为在等差数列{an}中,a2, a4,a8 成等比数列,所以=a2a8,所以(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),所以 d2=a1d,因为 d≠0,所以 d=a1,所以==3.答案:37.(2020·银川模拟)已知{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn为其前...
