板块命题点专练（十一） 空间向量及其应用命题点 向量法求空间角及应用1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥 PABC 中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点．(1)证明：PO⊥平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值．解：(1)证明：因为 PA＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点，所以 PO⊥AC，且 PO＝2.连接 OB，因为 AB＝BC＝AC，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB＝AC＝2.所以 PO＋OB2＝PB2，所以 PO⊥OB.又因为 OB∩AC＝O，所以 PO⊥平面 ABC.(2)以 O 为坐标原点，OB的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.由已知得 O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0，2,0)，P(0,0,2)，AP＝(0,2,2)．取平面 PAC 的一个法向量OB＝(2,0,0)．设 M(a,2－a,0)(0＜a≤2)，则AM＝(a,4－a,0)．设平面 PAM 的法向量为 n＝(x，y，z)，由得令 y＝a，得 z＝－a，x＝(a－4)，所以平面 PAM 的一个法向量为 n＝((a－4)，a，－a)，所以 cos〈OB，n〉＝.由已知可得|cos〈OB，n〉|＝cos 30°＝，所以＝，解得 a＝或 a＝－4(舍去)．所以 n＝.又PC＝(0,2，－2)，所以 cos〈PC，n〉＝＝.所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为.2.(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF.(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD；(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知可得 BF⊥PF，BF⊥EF，又 PF∩EF＝F，所以 BF⊥平面 PEF.又 BF⊂平面 ABFD，所以平面 PEF⊥平面 ABFD.1(2)如图，作 PH⊥EF，垂足为 H.由(1)得，PH⊥平面 ABFD.以 H 为坐标原点，HF，HP 的方向分别为 y 轴，z 轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz.由(1)可得，DE⊥PE.又 DP＝2，DE＝1，所以 PE＝.又 PF＝1，EF＝2，所以 PE⊥PF.所以 PH＝，EH＝.则 H(0,0,0)，P，D，DP＝，HP＝.又HP为平面 ABFD 的法向量，设 DP 与平面 ABFD 所成角为 θ，则 sin θ＝＝＝.所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为.3.(2018·浙江高考)如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.(1)证明：AB1⊥平面 A1B1C1；(2)求直线 AC1与平面 ABB1所成...
