竞赛讲座 34－一次方程与一次不等式1.一次方程（组）一次方程（组）是最简单的方程，是进一步研究函数、方程、不等式等的基础，先看一个含字母系数的一元一次方程的讨论.例 1（第 36 届美国中学数学竞赛题）设 a，a＇b，b＇是实数，且 a 和 a＇不为零，当且仅当（ ）时，ax+b=0 的解小于 a＇x+b＇=0 的解．（A）a＇b＜ab＇ （B）ab＇＜a＇b （C）ab＜a＇b＇（D） （E）解 a≠0,∴ax+b=0 的解是， a＇≠0,∴a＇x+b＇=0 的解是，根据题意得.故应选（E）.例 2 （第 4 届美国数学邀请赛试题）若 x1,x2,x3,x4和 x5满足下列方程组：①②③④⑤ 确定 3x4+2x5的值.解 将已知的五个方程加起来，然后，把所得方程的两边除以 6 得x1+x2+x3+x4+x5=31, (*)由第 4、第 5 个方程分别减去方程（*），得x4=17, x5=65,∴ 3x4+2x5=181说明，上面解答所提供的用 31 代换 x1+x2+x3+x4+x5的整体代换方法是一种重要的解题策略.例 3（1982 年天津初中数学竞赛题）已知关于 x，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5－2a=0，当 a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何 a 值它都能使方程成立吗？分析 依题意，即要证明存在一组与 a 无关的 x，y 的值，使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立，令 a 取两个特殊值（如 a=1 或 a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证，我们也可以这样想：将原方程整理成为形如a(x+y-2)+(-x+2y+5)=0将原方程转化为关于字母 a 的一元一次方程，由题知该方程对 a 取任意值成立必须且只须x+y-2=0,同时-x+2y+5=0.联立以上两方程易得原方程的解.以上所提出的两种解法将在本书的其它部分有更详细的讲述.2.一次不等式解一元一次不等式主要依据下列不等式的性质：（1）不等式的两边加上（或减去）同一个实数，所得不等式与原不等式同向；（2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，所得不等式与原不等式同向；（3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，所得不等式与原不等式反向.例 4（上海 1989 年初二竞赛题）如果关于 x 的不等式(2a-b)x+a-5b＞0 的解为，那么关于 x 的不等式 ax＞b 的解是多少？分析由(2a-b)x+a-5b＞0 可得（2a-b）x＞5b-a,注意到题目已给出的解得知仅当 2a-b＜0 时，有．故，对不等式 ax＞b,当 a＞0 时，x＞,a＜0,x＞例 5（1973 年加拿大中...
