星期五 (选修 4-1、4-4、4-5) (请同学从下面所给的三个选修模块中选定一个模块作答)一、选修 4-1：几何证明选讲(命题意图：考查四点共圆问题、三角形相似、割线定理等．)已知△ABC 中，AB＝AC，D 为△ABC 外接圆劣弧AC上的点(不与点A、C 重合)，延长 BD 至 E，延长 AD 交 BC 的延长线于 F.(1)求证：∠CDF＝∠EDF；(2)求证：AB·AC·DF＝AD·FC·FB.证明 (1)∵A、B、C、D 四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∠EDF＝∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，∴∠CDF＝∠EDF.(2)由(1)得∠ADB＝∠ABF，又∵∠BAD＝∠FAB，∴△BAD∽△FAB，∴＝，∴AB2＝AD·AF，又∵AB＝AC，∴AB·AC＝AD·AF，∴AB·AC·DF＝AD·AF·DF.根据割线定理得 DF·AF＝FC·FB，AB·AC·DF＝AD·FC·FB.二、选修 4-4：极坐标系与参数方程(命题意图：考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互化，考查直线与圆锥曲线的位置关系．)在直角坐标系 xOy 中，曲线 M 的参数方程为(α 为参数)，若以直角坐标系中的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 N 的极坐标方程为 ρsin＝t(t 为参数)．(1)求曲线 M 和 N 的直角坐标方程；(2)若曲线 N 与曲线 M 有公共点，求 t 的取值范围．解 (1)由 x＝cos α＋sin α，得 x2＝(cos α＋sin α)2＝2cos2 α＋2sin αcos α＋1，所以曲线 M 可化为 y＝x2－1，x∈[－2，2]，由 ρsin＝t 得 ρsin θ＋ρcos θ＝t，所以 ρsin θ＋ρcos θ＝t，所以曲线 N 可化为 x＋y＝t.(2)若曲线 M，N 有公共点，则当直线 N 过点(2，3)时满足要求，此时 t＝5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立得 x2＋x－1－t＝0，Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得 t＝－，综上可求得 t 的取值范围是－≤t≤5.三、选修 4-5：不等式选讲(命题意图：考查含绝对值不等式的解法，考查含绝对值不等式恒成立求参数范围等．)已知函数 f(x)＝|3x＋2|.(1)解不等式 f(x)＜4－|x－1|；(2)已知 m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数 a 的取值范围．解 (1)不等式 f(x)＜4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|＜4，当 x＜－时，可得－3x－2－x＋1＜4，解得－＜x＜－，当－≤x≤1 时，可得 3x＋2－x＋1＜4，解得－≤x＜，当 x＞1 时，即 3x＋2＋x－1＜4，无解，综上所述 x∈.(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，令 g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝∴x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，只需 g(x)max＝＋a≤4，即 0＜a≤.
