3.1.3 两个向量的数量积自我小测1．已知非零向量 a，b 不平行，并且其模相等，则 a＋b 与 a－b 之间的关系是( )A．垂直 B．共线C．不垂直 D．以上都有可能2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )A. B．97 C. D．613．在空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则 cos〈OA，BC〉＝( )A. B. C．－ D．04．设 A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD 是( )A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定5．已知向量 a，b 满足|a|＝2|b|≠0，且关于 x 的方程 x2＋|a|x＋a·b＝0 有实根，则 a与 b 的夹角的取值范围是( )A. B.C. D.6．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，则 a＋b＋c 的模等于__________．7．已知 a，b 是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线 a，b 上的单位向量，且 a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数 k 的值为__________．8．如图所示，AB＝AC＝BD＝1，AB平面 α，AC⊥平面 α，BD⊥AB，BD 与平面 α 成 30°角，则点 C 与 D 之间的距离为__________．9．已知空间四边形 ABCD，求AB·CD＋BC·AD＋CA·BD的值．10．如图，正三棱柱 ABCA1B1C1中，底面边长为.1(1)设侧棱长为 1，求证：AB1⊥BC1；(2)设 AB1与 BC1的夹角为，求侧棱的长．2参考答案1．解析： (a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．答案：A2．解析：|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×2×3×＋9×32＝61.∴|2a－3b|＝.答案：C3．解析： BC＝OC－OB，∴OA·BC＝OA·OC－OA·OB＝0，∴〈OA，BC〉＝90°，故 cos〈OA，BC〉＝0.答案：D4．解析：BC＝AC－AB，BD＝AD－AB，∴BC·BD＝AB2>0，∴∠DBC 为锐角，同理可得∠BCD，∠BDC 均为锐角．答案：B5．解析： 关于 x 的方程 x2＋|a|x＋a·b＝0 有实根，∴Δ＝|a|2－4a·b≥0，即|a|2≥4a·b.又 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉，∴|a|2≥4|a||b|cos〈a，b〉． |a|＝2|b|≠0，∴cos〈a，b〉≤＝＝，而〈a，b〉∈[0，π]，∴≤〈a，b〉≤π.答案：B6．解析：因|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋a·c)＝3，故|a＋b＋c|＝.答案：7．解析：由 a⊥b，得 a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0.3 e1·e2＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.答案：68．解析： AC⊥α，BD 与 α 成 30°角，∴AC 与 BD 所成角为 60...
