（浙江专用）高考数学大一轮复习 课时14 3.3 导数与函数极值和最值教师备用题库-人教版高三全册数学试题VIP免费

3.3 导数与函数极值和最值教师专用真题精编1.(2018 江苏,11,5 分)若函数 f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 . 答案 -3解析 本题考查利用导数研究函数的极值和最值.∵f(x)=2x3-ax2+1,∴f '(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若 a≤0,则 x>0 时, f '(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,又 f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上没有零点,∴a>0.当 0a3时, f '(x)>0, f(x)为增函数,∴x>0 时, f(x)有极小值,为 f(a3)=- a327+1.∵f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,∴f(a3)=0,∴a=3.∴f(x)=2x3-3x2+1,则 f '(x)=6x(x-1).令 f '(x)=0,得 x=0 或 x=1.x-1(-1,0)0(0,1)1f '(x)+-f(x)-4增1减0∴f(x)在[-1,1]上的最大值为 1,最小值为-4.∴最大值与最小值的和为-3.2.(2018 课标全国Ⅲ,21,12 分)已知函数 f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若 a=0,证明:当-10 时, f(x)>0;(2)若 x=0 是 f(x)的极大值点,求 a.解析 本题考查导数与函数的单调性、导数与函数的极值.1(1)当 a=0 时, f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x, f '(x)=ln(1+x)- x1+ x.设函数 g(x)=f '(x)=ln(1+x)- x1+ x,则 g'(x)=x(1+x )2 .当-10 时,g'(x)>0.故当 x>-1 时,g(x)≥g(0)=0,且仅当 x=0 时,g(x)=0,从而 f '(x)≥0,且仅当 x=0 时, f '(x)=0.所以 f(x)在(-1,+∞)单调递增.又 f(0)=0,故当-10 时, f(x)>0.(2)(i)若 a≥0,由(1)知,当 x>0 时, f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),这与 x=0 是 f(x)的极大值点矛盾.(ii)若 a<0,设函数 h(x)=f ( x )2+ x+a x2 =ln(1+x)-2x2+ x+a x2 .由于当|x|0,故 h(x)与 f(x)符号相同.又 h(0)=f(0)=0,故 x=0 是 f(x)的极大值点当且仅当 x=0 是 h(x)的极大值点.h'(x)= 11+ x-2( 2+ x+a x2)-2x (1+2ax )(2+x+a x2)2= x2(a2x2+4 ax+6a+1)( x+1)(a x2+x+2)2.如果 6a+1>0,则当 00,故 x=0 不是 h(x)的极大值点.如果 6a+1<0,则 a2x2+4ax+6a+1=0 存在根 x1<0,故当 x∈(x1,0),且|x|0;当 x∈(0,1)时,h'(x)<0.所以 x=0 是 h(x)的极大值点,从而 x=0 是 f(x)的极大值点.综上,a=-16.3.(2018 北京,18,13 分)设函数 f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.(1)若曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与 x 轴平行,求 a;(2)若 f(x)在 x=2 处取得极小值,求 a 的取值范围.解析 (1)因为 f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以 f '(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex.f '(1)=(1-a)e.由题设知 f '(1)=0,即(1-a)e=0,解得 a=1.此时 f(1)=3e≠0.所以 a 的值为 1.(2)由(1)得 f '(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.若 a>12,则当 x∈(1a ,2)时, f '(x)<0;当 x∈(2,+∞)时, f '(x)>0.所以 f(x)在 x=2 处取得极小值 0.若 a≤12,则当 x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤12x-1<0,所以 f '(x)>0,所以 2 不是 f(x)的极小值点.综上可知,a 的取值范围是(12 ,+∞).3