星期五 (选修 4-1、4-4、4-5) (请同学从下面所给的三个模块中选定一个模块作答)一、选修 4-1：几何证明选讲(命题意图：考查三角形中的三角形相似，考查圆中的切割线定理等．)如图所示，已知圆 O 外有一点 P，作圆 O 的切线 PM，M 为切点，过 PM的中点 N，作割线 NAB，交圆于 A、B 两点，连接 PA 并延长，交圆 O于点 C，连接 PB 交圆 O 于点 D，若 MC＝BC.(1)求证：△APM∽△ABP；(2)求证：四边形 PMCD 是平行四边形．证明 (1)∵PM 是圆 O 的切线，NAB 是圆 O 的割线，N 是 PM 的中点，∴MN2＝PN2＝NA·NB，∴＝，又∵∠PNA＝∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN＝∠PBN，即∠APM＝∠PBA.∵MC＝BC，∴∠MAC＝∠BAC，∴∠MAP＝∠PAB，∴△APM∽△ABP.(2)∵∠ACD＝∠PBN，∴∠ACD＝∠PBN＝∠APN，即∠PCD＝∠CPM，∴PM∥CD，∵△APM∽△ABP，∴∠PMA＝∠BPA，∵PM 是圆 O 的切线，∴∠PMA＝∠MCP，∴∠PMA＝∠BPA＝∠MCP，即∠DPC＝∠MCP，∴MC∥PD，∴四边形 PMCD 是平行四边形．二、选修 4-4：极坐标与参数方程(命题意图：考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标系下的线段的长度等．)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程(φ 为参数)．以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的极坐标方程是 2ρsin＝3，射线 OM：θ＝与圆 C 的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长．解 (1)圆 C 的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，又 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.(2)设 P(ρ1，θ1)，则由解得 ρ1＝1，θ1＝.设 Q(ρ2，θ2)，则由解得 ρ2＝3，θ2＝，所以|PQ|＝2.三、选修 4-5：不等式选讲(命题意图：考查含绝对值不等式的求解以及不等式恒成立下的参数范围的求解．)设 f(x)＝|x－1|－|x＋3|.(1)解不等式 f(x)＞2；(2)若不等式 f(x)≤kx＋1 在 x∈[－3，－1]上恒成立，求实数 k 的取值范围．解 (1)当 x＜－3 时，f(x)＝1－x＋x＋3＝4＞2 恒成立；当－3≤x≤1 时，f(x)＝1－x－(x＋3)＝－2x－2＞2，解得－3≤x＜－2；当 x＞1 时，f(x)＝x－1－x－3＝－4＜2，综上可得不等式 f(x)＞2 的解集为{x|x＜－2}．(2)f(x)≤kx＋1 即－2x－2≤kx＋1，∵x∈[－3，－1]，∴k≤，即 k≤－2－＝－1.
