高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间向量与垂直关系练习 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

3.2.2 空间向量与垂直关系 (建议用时：40 分钟)一、选择题1．已知平面 α 的法向量为 a＝(1,2，－2)，平面 β 的法向量为 b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则 k＝( )A．4 B．－4 C．5 D．－5【答案】D [ α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.]2．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且 BP⊥平面 ABC，则实数 x，y，z 分别为( )A．，－，4 B．，－，4C．，－2,4D．4，，－15【答案】B [ AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即 3＋5－2z＝0，得 z＝4，又 BP⊥平面 ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，则解得]3．在菱形 ABCD 中，若PA是平面 ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( ) A．PA⊥AB B．PA⊥CDC．PC⊥BD D．PC⊥AB【答案】D [由题意知 PA⊥平面 ABCD，所以 PA 与平面上的线 AB，CD 都垂直，A，B 正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线 BD⊥平面 PAC，故 PC⊥BD，C 选项正确．]4．已知点 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点 D 满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D 的坐标为( )A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)或C．D．(1,1,1)或【答案】D [设 D(x，y，z)，则BD＝(x，y－1，z)，CD＝(x，y，z－1)，AD＝(x－1，y，z)，AC＝(－1,0,1)，AB＝(－1，1,0)，BC＝(0，－1,1)．又 DB⊥AC⇔－x＋z＝0 ①，DC⊥AB⇔－x＋y＝0 ②，AD＝BC⇔(x－1)2＋y2＋z2＝2 ③，联立①②③得 x＝y＝z＝1 或 x＝y＝z＝－，所以点 D 的坐标为(1,1,1)或.故选 D．]5.如图 3214 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别在 A1D，AC 上，且 A1E＝A1D，AF＝AC，则( )基础篇1图 3214A．EF 至多与 A1D，AC 之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF 与 BD1相交D．EF 与 BD1异面【答案】B [建立分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为 1，则DA1＝(1,0,1)，AC＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，E，F，EF＝，∴EF·DA1＝0，EF·AC＝0，∴EF⊥A1D，EF⊥AC．]二、填空题6．已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．给出下列结论：① AP⊥AB；② AP⊥AD；③AP是平面 ABCD 的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．【答案】①②③ [AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB⊥AP，则 AB⊥AP.AD·AP＝4×(－1)＋2×2＋0...