3.2.1 导数的概念一、选择题1．在 f′(x0)＝lim 中，Δx 不可能( )A. 大于 0B. 小于 0C. 等于 0D. 大于 0 或小于 0解析：由导数定义知 Δx 只是无限趋近于 0，故选 C.答案：C 2．设 f(x)在 x＝x0处可导，则lim 等于( )A．－f′(x0)B．f′(－x0)C．f′(x0)D．2f′(x0)解析：lim ＝lim－＝－lim ＝－f′(x0)．答案：A 3．设函数 f(x)在点 x0附近有定义，且 f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b 为常数)，则( )A. f′(x0)＝－aB. f′(x0)＝－bC. f′(x0)＝aD. f′(x0)＝b解析：∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，∴＝a＋bΔx.∴lim ＝lim (a＋bΔx)．∴f′(x0)＝a.故选 C.答案：C 4．一物体的运动方程是 s＝at2(a 为常数)，则该物体在 t＝t0时的瞬时速度是( )A．at0B．－at0C.at0D．2at0解析：∵＝＝aΔt＋at0，∴lim ＝at0.答案：A 二、填空题5．过曲线 y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为__________．解析：由平均变化率的几何意义知 k＝＝1.答案：16．已知 f(x)＝，则lim ＝________.解析：令 x－a＝Δx，则 x＝a＋Δx，lim ＝lim ＝lim ＝lim ＝－.答案：－7．已知 f(x)＝，且 f′(m)＝－，则 f(m)＝________.1解析：∵f(x)＝，∴f′(m)＝lim ＝lim ＝lim ＝－.又 f′(m)＝－，∴－＝－. ∴m＝±4.∴f(m)＝＝±.答案：±三、解答题8．已知函数 f(x)＝，求 f′(1)·f′(－1)的值．解：当 x＝1 时，＝＝＝.由导数的定义，得 f′(1)＝lim ＝.当 x＝－1 时，＝＝＝Δx－2.由导数的定义，得 f′(－1)＝lim (Δx－2)＝－2.所以 f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1.9．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)之间的关系式为 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在 t＝ s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解：令 t0＝，Δt 为增量．则＝＝＝－4.9(＋Δt)＋6.5.∴lim ＝lim[－4.9(＋Δt)＋6.5]＝0，即运动员在 t0＝ s 时的瞬时速度为 0 m/s.说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．2
