圆锥曲线的中点弦问题 结 论 1.在椭圆E:ᵉᵽᵈᵽ+ᵉᵽᵈᵽ=1(a>b>0)中: (1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E 交于A,B 两点,过A,B 两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=-ᵈᵽᵈᵽ. (2)如图②所示,若直线y=kx 与椭圆E 交于A,B 两点,P 为椭圆上异于A,B 的点,若直线PA,PB 的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-ᵈᵽᵈᵽ. (3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0 且m≠0)与椭圆E 交于A,B 两点,P 为弦AB 的中点,设直线PO 的斜率为k0,则k0·k=-ᵈᵽᵈᵽ. 2.在双曲线E:ᵉᵽᵈᵽ-ᵉᵽᵈᵽ=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有: (1)k0·k=ᵈᵽᵈᵽ. (2)k1·k2=ᵈᵽᵈᵽ. (3)k0·k=ᵈᵽᵈᵽ. 解 读 这些结论中的第（1）（3）个可以利用“点差法”来完成：①设出弦的两端点的坐标；②代入圆锥曲线方程；③两式相减，在用平方差公式展开；④整理、转化为弦所在直线的斜率与弦中点和原点连线的斜率的关系，然后求解． 典 例 已知双曲线222210,0xyabab，斜率为12 的直线l 交双曲线于M 、N ，O 为坐标原点，P 为MN 的中点，若OP 的斜率为2 ，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B．5 C．2 3 D．4 解 析 反 思 本题先设点11,M x y、 22,N xy，利用点差法求得221ba ，进而可得出双曲线的离心率为21cbeaa ，即可得解.主要考查了双曲线的标准方程，以及直线与双曲线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 针对训练*举一反三 1．已知抛物线 2yax，过其焦点且斜率为14 的直交抛物线于A､ B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为2 ，则该抛物线的准线方程为（ ） A． 132y B．2y C． 164y D．4y 2．已知椭圆222210xyabab，点F 为右焦点，B 为上顶点，平行于FB 的直线l 交椭圆于M ，N两点且线段MN 的中点为11,24Q ，则椭圆的离心率为（ ） A．22 B．12 C．14 D．32 3．已知双曲线2222:10,0xyCabab的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 在双曲线上，...
