动点问题汇总一、如图1，直线y=−43x+4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．思路点拨1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．满分解答（1）直线y=−43x+4与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t，，所以．如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时．定义域为0＜t≤2．如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时．定义域为2＜t≤5．1/51图2图3②把S＝4代入，得．解得，（舍去负值）．因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时．③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM，，所以．解得．如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，．不存在∠ONM＝90°的可能．所以，当或者时，△MON为直角三角形．图4图5二、已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2=AM2+BN2；思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程．（2）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．2/51思路点拨1．本题的证明思路是构造△ACM△DCM，证明△BCN≌△DCN．2．证明△BCN≌△DCN的关键是证明∠DCN=∠BCN．3．证明的结论是勾股定理的形式，基本思路是把三条线段AM、BN、MN集中在一个三角形中，设法证明这个三角形是直角三角形．满分解答（1）如图3，将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，则△DCM≌△ACM．因此CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A．又由CA=CB，得CD=CB．由∠DCN=∠ECF−∠DCM=45°−∠DCM，∠BCN=∠ACB−∠ECF−∠ACM=90°−45°−∠ACM=45°−∠ACM，得∠DCN=∠BCN．又CN=CN，所以△CDN≌△CBN．因此DN=BN，∠CDN=∠B．所以∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．在Rt△MDN中，由勾股定理，得MN2=DM2+DN2．即MN2=AM2+BN2．图3图4（2）关系式MN2=AM2+BN2仍然成立．如图4，将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，则△DCM≌△ACM．所以CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠CAM．又由CA=CB，得CD=CB．由∠DCN=∠DCM+∠ECF=∠DCM+45°，∠BCN=∠ACB−∠ACN=90°−(∠ECF−∠ACM)=45°+∠ACM，得∠DCN=∠BCN．又CN=CN，所以△CDN≌△CBN．因此DN=BN，∠CDN=∠B=45∘．又由于3/51∠CDM=∠CAM=180°−∠CAB=135°，所以∠MDN=∠CDM−∠CDN=135∘−45∘=90∘．在Rt△MDN中，由勾股定理，得MN2=DM2+DN2．即MN2=AM2+BN2．三、太原2008如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1yx与334yx交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．（1）求点A、B、C的坐标．（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标．（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．图1思路点拨1．数形结合，由两条直线的解析式组成的方程组的解，就是点A的坐标．2．分类讨论等腰三角形CBD，按照顶角的顶点分三种情况讨论．3．在计算点D的坐标时，构造以...
