刚体一章习题解答习题4—1如图所示，X轴沿水平方向，Y轴竖直向下，在t=0时刻将质量为m的质点由a处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t，质点对原点O的力矩；在任意时刻t，质点对原点的角动量。解：作用于质点上的重力为任一时刻t质点(也是重力的作用点)的位置矢量为据定义，该重力对原点O点的力矩为任一时刻t质点的动量为据定义，质点对原点O的角动量为习题4─2我国第一颗人造卫星沿椭圆轨道运动，地球的中心O为椭圆的一个焦点(如图)，已知地球半径R=6378km，卫星与地面的最近距离l1=439km，与地面的最远距离l2=238km。若卫星在近地点A1的速度v1=8.1km/s，则卫星在远地点的速度v2=。解：卫星受到地球引力(有心力)的作用，对地心O的角动量守恒。因此解得km/s习题4—3光滑圆盘面上有一质量为m的物体A，栓在一根穿过圆盘中心光滑小孔的细绳上，如图所示。开始时，物体距离圆盘中心O的距离为r0，并以角速度绕圆盘中心O作圆周运动，现向下拉绳，当物体A的径向距离由r0减少到时向下拉的速度为v，求下拉的过程中拉力所作的功。分析：下拉过程并不是缓慢的，在下拉过程中的任一时刻，物体的速度不是刚好沿半径为r的切线方向，而是既有切向分量，又有法向分量。另一方面，此题可以考虑用动能定理求拉力的功，这就得先求出物体的末态速度。解：设在末态物体的速度的切向分量为vt，法向分量为vn(亦为下拉速度)。同时考虑到速度的XYOab习题4―1图v=gt卫星A1A2Rl1l2O习题4―2图习题4―3图AO法向分量vn与矢径r反平行，其相应的角动量为零，由角动量守恒可得所以，末态速度的切向分量由质点动能定理，下拉的过程中拉力所作的功习题4—4质量为m1的粒子A受到第二个粒子B的万有引力作用，B保持在原点不动。最初，当A离B很远(r=∞)时，A具有速度，方向沿图中所示直线Aa，B与这条直线的垂直距离为D。粒子A由于粒子B的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动，已知这轨道与B之间的最短距离为d，求B的质量mB。解：粒子A在粒子B的有心力场中运动，系统的角动量和机械能均守恒。因此，我们可以得到①②联立①、②两式解得B的质量为习题4—5在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于O点，另一端系一质量m=0.5kg的物体，开始时，物体位于位置A，OA间距离d=0.5m，绳子处于松弛状态。现在使物体以初速度vA=4m/s垂直于OA向右滑动，如图所示，设以后的运动中物体到达位置B，此时物体速度的方向与绳垂直。则此刻物体对O点角动量的大小LB=，物体速度的大小vB=。解：由质点角动量守恒定律有因此，物体在B点时对O点的角动量为物体在B点时的速度为AaDB习题4―4图d习题4―5图ABdO习题4—6一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义为：，其中a、b、皆为常数，则此质点所受的对原点的力矩；该质点对原点的角动量。解：依定义，质点的加速度质点受到的力为因此力矩因为所以质点角动量为习题4—7两个匀质圆盘A和B的密度分别为和，若，但两圆盘的质量和厚度相同，如两盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量各为JA和JB，则：［］(A)。(B)。(C)。(D)、哪个大不能确定。解：圆盘的转动惯量又因为所以有这样一来因为已知，因而，故应选择答案(B)。习题4─8如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮，A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且F=Mg，设A、B两滑轮的角加速度分别为和，不计滑轮轴的摩擦，则有：［］(A)。(B)。(C)。(D)开始时，以后。解：由牛顿定律及转动定律对A：对B：从以上各式可解得，显然所以，应当选择答案(C)。习题4—9一长为l，质量可以忽略的细杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为m的小球，如图所示。现将杆由水平位置无初速度地释放，则杆刚被释放时的角加速度，杆与水平方向夹角为60°时的角加速度。解：细杆对轴的转动惯量为J=ml2，由转动定律，当杆刚被释放时的角加速度为当杆与水平方向夹角为60°时的角加速度为习题4─10长为l、质量为M的匀质细杆可绕通过杆的一端O的水平光滑固定轴转动，转动惯量为，开始时杆竖直下垂，如图所示，有一质量为m的子弹以水平速度v0射入杆上A点，并嵌在杆中，OA=，则...
