FEABCD高三数学 5 直截面不规则试题5.1 作棱的直接面法求非规则体的体积【例 3】如图 4-5，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为 【解析】如图 4-5 所示，过 BC 作 EF 的直截面 BCG，作面 ADM∥面 BCG，FO＝，FG＝.∴GO＝＝，∴S△BCG＝×1×＝， 图 4-5V1＝VBCG－ADM＝S△BCG·AB＝，V2＝2VF－BCG＝2×××＝.∴V＝V1＋V2＝.【评注】作棱的直接面即底面的两个垂面，将非规则体分割成 2 个全等的三棱锥和一个直三棱柱，这样易寻求三棱柱和三棱锥的高，是由题设的特殊性决定的.【变式 1】 直截面分割 2 个锥体和 1 个柱体求体积→直截面分割 1 个锥体和一个柱体求体积 （99 高考题）如图 4-6 所示的几何体中，底面ＡＢＣＤ是边长为3 的正方形，EF∥平面ＡＢＣＤ， ，EF 到面 ABCD 的距离为3，则几何体ＥＦＡＢＣＤ的体积.为（ ） A 9/2 B 5 C 6 D 15/2 【变式 1】答案 D 【解析 1】 若注意到选择题的特征，分割估算使问题简单. 图 4-6如图 4-6，连接 BE、CE，则四棱锥 E-ABCD 的体积为，而整个多面体的体积大于部分体积，所以所求多面体的体积大于 6，即选 D.【解析 2】 过点作底面的垂面即棱的直接面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，. 【变式 2】 直截面分割 2 个锥体和 1 个柱体求体积→由三视图换元几何体直截面分割 1 个锥体和一个柱体求体积 （2015·马鞍山市第 3 次质量检测第 6 题 ） 第 6 题图是一个几何体的三视图如右，则该几何体体积为（ ）A.15 B. 16 C.17 D.18【变式 2】答案 A【解析】 由三视图可得空间几何体为：由题意可得：3,1,3DEGFEG，所以该空间几何体的体积为15213121GCGFGBEGDEAE.5.2 作棱的直接面分割法简化求体积【例 4】 （2014·福建高考）如图 4-7 所示，三棱锥 A-BCD 中，AB⊥平面 BCD，CD⊥BD.若 AB＝BD＝CD＝1，M 为 AD 中点，则三棱锥 A-MBC 的体积为 【解析】 由 AB⊥平面 BCD，得平面 ABD⊥平面 BCD.且平面 ABD∩平面 BCD＝BD.过点 M 作 MN⊥BD 交 BD 于点 N，则 MN⊥平面 BCD，且 MN＝AB＝，又 CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴,∴三棱锥 A-MBC 的体积 图 4-7 .【评注】三棱锥的体积通过棱的直接面或辅助面，分割化归为两个易求三棱锥的体积，关键在于依据题设特殊性...
