第二阶段数学能力备考的几点建议三专题 3．数列不等式和点列问题数列不等式是高考的一个热点，这类问题是把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了证明不等式，求不等式中的参数范围，求数列中的最大项，最小项，比较数列中的项的大小关系，研究数列的单调性等不同解题方向的问题，而数列的条件的给出是多种多样的，可以是已知的等差数列，等比数列，也可以是一个递推公式，可以是一个函数解析式，数列不等式的证明和解决要调动证明不等式的各种手段,如比较法,放缩法,函数法,反证法,均值不等式法,数学归纳法, 分析法等等.因此,这类题目从已知条件给出的信息,求解目标需求的信息,解题过程所用的方法都相当丰富,并且对于考查逻辑推理, 演绎证明,运算求解,归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材.在 2005 年的 29 套高考数学试题中数列不等式的解答题就出现了 11 道。点列问题是数列问题与解析几何问题的综合，一个点的横，纵坐标分别是某两个不同数列的项，而这两个数列又由点所在的曲线建立了联系，从而数列的代数特征与曲线的几何性质紧密相关，就可以根据已知条件从数列和曲线两个角度利用所学过的知识进行演绎推理，得到所需要的结果。这类问题在近几年高考中经常出现，就是因为它的综合性较强，可以从数与形的两个角度考查理性思维能力，数学联结能力以及分析问题与解决问题的能力。例如，2002 年的京，皖春季卷，2003 年的江苏卷，2004 年的湖南卷，上海卷，浙江卷，2005 年的上海卷，浙江卷都有一道点列问题的解答题。【分析及解】（Ⅰ）由已知可得两式相减得即从而 .当时所以又所以.从而 故总有 ，又.【例 1】 (2005 年，山东卷，理文 21)已知数列的首项前项和为，且（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）令，求函数在点处的导数，并比较与的大小.从而,即数列是等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知因为 所以 从而==-=-==12 ①当时，①式 =0,所以, ；当时，①式=-12,所以 当时，又所以即①.从而.第（Ⅱ）问是导数与数列不等式的综合，求出导数之后，用比较法求解。【分析及解】第（Ⅰ）问是解不等式的问题，第（Ⅱ）则需要用比较法判断大小关系.（Ⅰ）因为是等比数列，当上式等价于不等式组： ①或 ②解①式得 q>1；解②，由于 n 可为奇数、可为偶数，得－1
