6 作辅助平面6.1 作辅助平面【例 3】正三棱柱中，，点分别是侧棱上的点且，过作一截面，求截面将三棱柱分成两部分的体积之比．【解析】连接，则，故，所以 ，所以截面将三棱柱分成两部分的体积之比．【评注】本题连接得辅助平面，则辅助平面将四棱锥分成两个三棱锥和三棱锥，问题转化为求同底的三棱锥和三棱柱的体积比．【变式 1】利用辅助平面证明平行关系.已知平面平面，直线，求证：．【解析】过直线分别作辅助平面和，与平面相交，交线分别为，因为，所以，所以．又，所以．又，所以．由公理 4 得．【变式 2】利用辅助平面作二面角的平面角.已知为二面角内一点，且到其两个半平面的距离都等于到棱距离的一半，求这个二面角的大小．【解析】如图，作于点，于点，因为，，故，．所以．设，连，则由得，故为二面角的平面角．又在中，，故，所以，即所求二面角为．【变式 3】利用辅助面分割棱柱成两个棱锥.已知斜三棱柱的每条棱长都是，侧棱与底面成角，侧面垂直于底面，求四棱锥的体积．【解析】连接，截面将四棱锥分为两个三棱锥和， 因为为平行四边形，所以，故两个三棱锥和的体积相等，所以四棱锥的体积等于三棱锥体积的 2 倍．又．过作于，由侧面垂直于底面得，故， ，所以，故四棱锥的体积等于．6.2 作两平面的交线【例 4】正三棱柱中，，点分别是侧棱上的点且，过作一截面，求截面与底面所成的角．【解析】延长交于点，连接，则为平面与底面交线．由知．又由知，所以，又，所以，故为所求二面角的平面角．中，所以，即截面与底面所成的角等于．【评注】对于题目中没有棱的二面角，常常可以先作两个平面的交线，再分别在两个半平面中作棱的垂线得到二面角的平面角，再解三角形求解．【变式 1】线段的垂直平分面的用法如图，在四棱锥中，为底面内的一个动点，且满足，则动点的轨迹为（ ）A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．线段【解析】因为，故动点必在线段的垂直平分面上（过中点且与垂直的平面），又在底面内，故为底面与线段的垂直平分面的交线上．选 D．【变式 2】作两平面的交线证明线面平行。已知有公共边的两个全等正方形不在同一平面内，分别是对角线上的点且，求证：.【解析】如图所示，连接并延长交(或其延长线)于，连结，P ，∴． ，∴．∴．∴．∴．又，∴．6.3 线面平行中作平行线【 例 5 】 如 图 所 示 ， 在 正 方 体中 ，分 别 是 棱的中点，求证：．【解析】如图，取的中点，连接...
