4 点距离的计算方法 【例 1】 已知菱形中，，，沿对角线将折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于 【解析】 应用菱形的性质，设 AC 和 BD 的交点为 F 点，且，在三角形 ABC 中可得，，折叠前后仍在同一平面内的 位 置 ， 且，，，则平面，于是二面角的补角，设 O 为在面 ABD 上的射影，由面面垂直的性质定理，O 在 AF 上，则 ，为到所在平面的距离；［评注］点到面的距离常常经过点构建一个与已知面垂直的平面，点到面的距离转化为点在辅助面内到两平面的交线的距离，这是面面垂直的性质定理决定的，简称利用面面垂直直作点到面的距离【变式 1】正三棱柱中利用面面垂直性质定理直作点到面的距离 在正三棱柱111ABCA B C中，若 AB=2，1AA1 则点 A 到平面1A BC 的距离为 1
23 【解析】过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，连接 A1D，过点 A 作AD⊥面 A1BC 于点 E，则点 E 在 A1D 上，AE 即为点 A 到平面1A BC 的距离
在 Rt△ACD 中，BAODCA11FAC=2 ， CD=1 ， ∴ AD=3
在 Rt△A1DA 中 ，1AA1 ， AD=3 ， ∴ tan∠A1DA=33
∴∠A1DA=300
在 Rt△ADE 中，AE=AD·sin300=23
【 例 2 】 如 图 17 ， 在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ，AB=2,AD=1,A1A=1， 则直线 BC1到平面 D1AC 的距离为
[解析] 易证，∴直线 BC1∥平面 DA1C；由（1）知 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离，设为：由，且中，，故 ∴，即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为．［评注］解决空间距离问题的思路就是转化：面面距→线面距→点面距，然后利用等积变换的方法求点面距．【变式 1
