题在课外根在课内 刘宁每年中考都会出现许多好题，其中有些题是“源于教材，高于教材”令人称道。也告诉同学们一个道理，有一些新题“根在课堂上”。平时要打好基础，掌握题目的一些变化方法，就能举一反三。下面从一道试题入手，看其变化出的新题。供读者参考。原题 已知：A 是圆 O 直径上一点，OB 是和这条直径垂直的半径，BA 和圆 O 相交于另一点 C，（如图 1）过点 C 的切线和 OA 的延长线相交于点 D。求证：DA=DC。图 1简证：此题证法较多，连结 OC。因为 DC 为圆 O 的切线，C 为切点，所以∠1+∠2=90°因为 OB⊥OA，所以∠3+∠B=90°而∠B=∠1，∠3=∠4所以∠2=∠4，故 DA=DC。演变一 如图 2，平移 MN，因为直径是弦的特例，不难发现点 A 所在的弦是否是直径与本题的结论无关可得新命题。求证：。图 2分析：如图 2，连结 OC，仍有 DA=DC。由切割线定理得，所以演变二 将上题中 OB⊥NM 的条件改为 B 为的中点可得新命题：已知：如图2，DC 切圆 O 于 C，DNM 是圆 O 的割线，B 为的中点，CB 交 MN 于 A。求证：。分析：因为 B 为的中点，O 为圆心。由垂径定理的逆定理知 OB⊥NM，又 DA=DC，故。演变三 如图 3，已知：DC、DE 是圆 O 的切线，DNM 为割线，CB 平分∠MCN 交MN 于 A。求证：DE=DA。图 3分析：因为 CB 平分∠NCM，所以，即 B 为的中点。连 OB，则 OB⊥NM，故仍有 DA=DC。由切线长定理知 DE=DC，故问题得证。演变四 如图 4，强化 A 点的位置（A 为 DM 的中点）可得新命题：已知：DC 为圆 O的切线，C 为切点，DNM 是割线，A 是 DM 的中点，CA 的延长线交圆 O 于 B，且。求证：。分析：如图 4，此题强化 A 为 DM 的中点且增加线段 BN、AB、BC 的关系。因为易证所以∠1=∠2又因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，即 B 为的中点，故有 DC=DA由切割线定理知：又 DM=2DA所以即所以由相交弦定理知：MA·AN=AC·AB，故。新命题获证。演变五 将原题中部分条件改变，则有以下新命题。已知：PA 为圆 O 的切线，PBC 为割线，（如图 5）A、B、C 在圆上，且 BC=3PB，△PAC 的中线 AN 的延长线交圆 O 于M。求证：MA·MN=MB·MC。图 5分析：因为所以即 PA=PN所以∠2+∠4=∠5=∠6+∠3而∠4=∠6所以∠1=∠2=∠3所以所以故 MA·MN=，而 MB=MC故 MA·MN=MB·MC，问题获证。实践证明：以课本习题的研究为基础进行探究，对开发学生智力，提高解题能力和创造性思维能力均有裨益。
