完整版异面直线所成角的几种求法VIP免费

第 1 页 共 4 页异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角） 来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中， 平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。一、向量法求异面直线所成的角例 1：如图，在正方体 ABCD-A1B 1C1D1 中，E、F 分别是相邻两侧面BCC 1B1 及 CDD 1C1的中心。求A 1E 和 B 1F 所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。作法：连结B1E，取 B 1E 中点 G 及 A 1B1 中点 H，连结 GH ，有 GH//A 1E。过 F 作 CD 的平行线 RS，分别交 CC1、DD 1于点 R、S，连结 SH，连结 GS。由 B 1H//C 1D1//FS，B 1H=FS，可得 B 1F//SH。在△ GHS 中，设正方体边长为a。GH=46a（作直线 GQ//BC 交 BB 1 于点 Q，连 QH，可知△ GQH 为直角三角形） ，HS=26a（连 A 1S，可知△ HA 1S 为直角三角形） ，GS=426a（作直线 GP 交 BC 于点 P，连 PD，可知四边形GPDS 为直角梯形） 。∴Cos∠GHS=61 。所以直线 A 1E 与直线 B 1F 所成的角的余弦值为61 。解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以 B 为原点， BC 为 x 轴， BA 为 y 轴， BB 1 为 z 轴，设 BC 长度为 2。B A C D F E B1A 1D1C1G H S R P Q B A C D F E B1A 1D1C1第 2 页 共 4 页则点 A 1的坐标为（ 0，2，2），点 E 的坐标为（ 1，0，1），点 B 1 的坐标为（ 0， 0，2），点 F 的坐标为（ 2，1，1）；所以向量1EA 的坐标为（ -1， 2，1），向量FB1的坐标为（ 2，1， -1），所以这两个向量的夹角θ 满足cosθ =||||1111FBEAFBEA=222222)1()1()2()1()2()1()1(1122)1(=-61 。所以直线 A 1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为61小结： 上述解法中， 解法一要求有良好的作图能力，且能够在作图完毕后能够看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大...