一、问题背景 圆过定点问题是高考中常见的题型，是圆的特殊性质，圆的方程在高考中是C 级要求，对圆的性质要求学生会运用。因此对计算的要求也比较高，圆相比较椭圆和双曲线的性质更具有特殊性。因此在近几年各地的高考中属于常考题型。 二、常见的方法 特殊化，消元法，换元法（整体换元、三角换元）等，主要思想方法：数形结合、函数与方程思想。 范例 例1.二次函数2( )34()f xxxc xR的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为⊙C ． （1）求实数c 的取值范围； （2）求⊙C 的方程； （3）问⊙C 是否经过某定点（其坐标与c 的取值无关）？请证明你的结论． 【解题分析】（1）令 x=0 求出 y 的值，确定出抛物线与y 轴的交点坐标，令 f（x）=0，根据与x 轴交点有两个得到 c 不为0 且根的判别式的值大于0，即可求出 c 的范围； （2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令 y=0 得，x2+Dx+F=0，这与x2﹣ x+ =0是同一个方程，求出 D，F．令 x=0 得，y2+Ey+F=0，此方程有一个根为c，代入得出 E，由此求得圆C 的一般方程； （3）圆C 过定点（0，）和（，），证明：直接将点的坐标代入验证． 【解法】：（1）令 x=0，得抛物线与y 轴的交点（0，c）， 令 f（x）=3x2﹣4x+c=0， 由题意知：c≠0 且⊙＞0， 解得：c＜ 且 c≠0； （2）设圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0， 令 y=0，得到 x2+Dx+F=0，这与x2﹣ x+ =0 是一个方程，故 D=﹣ ，F= ； 令 x=0，得到 y2+Ey+F=0，有一个根为c，代入得：c2+cE+ =0，解得：E=﹣c﹣ ， 则圆C 方程为：x2+y2﹣ x﹣（c+ ）y+ =0； （3）圆C 必过定点（0，）和（，），理由为： 由 x2+y2﹣ x﹣（c+ ）y+ =0， 令 y= ，解得：x=0 或 ， ⊙圆C 必过定点（0，）和（，）． 【点评】本题主要考查圆的标准方程，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题． 变式1.已知圆M 的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l 的方程为x－2y＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA、PB，切点为A、B. (1) 若∠APB＝60° ，试求点P 的坐标； (2) 若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于 C、D 两点，当 CD＝2时，求直线CD的方程； (3) 求证：经过A、P、M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 例 2．已知定点G（﹣3，0），S 是圆C：（X﹣3）2+y2=72（C 为圆心）上的动点，SG 的垂...
