第五讲 最大公约数与最小公倍数 【知识导引】 一、约数的概念与最大公约数 约数又叫因数(在正整数范围内)整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数。最大公约数:如果一个数既是数a 的约数,又是数b 的约数,称为[a,b]的约数。几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 1. 求最大公约数的方法 ①分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。 例如: 2 3 1371 1 , 222 5 2237 ,所以 (2 3 1 ,2 5 2 )372 1; ②短除法:先找出所有共有的约数,然后相乘。例如:2 1 81 23 9632,所以 (1 2 ,1 8 )236; ③辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下:先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数;再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数;又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数;这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止。那么,最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互 质的) 。例 如,求600 和 1515 的最大公约数: 1 5 1 56 0 023 1 5;6 0 03 1 512 8 5;3 1 52 8 513 0; 2 8 53 091 5;3 01 520;所以 1515 和600 的最大公约数是15。 2. 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数; ②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数; ③几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 n 。 3. 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数,其他分数不变;求出各个分数的分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子的最大公约数b; ba 即为所求。 二、倍数的概念与最小公倍数 对于整数m,能被n 整除(n/m),那么 m 就是n 的倍数。如15 能够被3 或 5 整除,我们就说 15 是3 的倍数,也是5 的倍数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数法求最小公倍数 例如: 2313 7 11 ,22252237 ,所以22231,252237 112772; ②短除法求最小公倍数 例如:218123 9632 ,所以18,1223...