第五讲 最大公约数与最小公倍数 【知识导引】 一、约数的概念与最大公约数 约数又叫因数(在正整数范围内）整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。最大公约数:如果一个数既是数a 的约数，又是数b 的约数，称为[a,b]的约数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 1. 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 例如： 2 3 1371 1 ， 222 5 2237 ，所以 (2 3 1 ,2 5 2 )372 1； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。例如：2 1 81 23 9632，所以 (1 2 ,1 8 )236； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互 质的) 。例 如，求600 和 1515 的最大公约数： 1 5 1 56 0 023 1 5；6 0 03 1 512 8 5；3 1 52 8 513 0； 2 8 53 091 5；3 01 520；所以 1515 和600 的最大公约数是15。 2. 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 n 。 3. 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b； ba 即为所求。 二、倍数的概念与最小公倍数 对于整数m，能被n 整除（n/m）,那么 m 就是n 的倍数。如15 能够被3 或 5 整除，我们就说 15 是3 的倍数，也是5 的倍数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数法求最小公倍数 例如： 2313 7 11 ，22252237 ，所以22231,252237 112772； ②短除法求最小公倍数 例如：218123 9632 ，所以18,1223...
