第十九讲 几何图形的计数问题 在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等． 例1 如图1－65 所示，数一数图中有多少条不同的线段？ 解 对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5 类分别计数： (1)以A 为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF 共5 条； (2)以B 为左端点的线段有BC，BD，BE，BF 共4 条； (3)以C 为左端点的线段有CD，CE，CF 共3 条； (4)以D 为左端点的线段有DE，DF 共2 条； (5)以E 为左端点的线段只有EF 一条． 所以，不同的线段一共有 5+4+3+2+1=15(条)． 一般地，如果一条线段上有n+1 个点(包括两个端点)，那么这n+1 个点把这条线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2 例2 图1－66 中有多少个三角形？ 解 以OA 为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD， △OAE，△OAF 共5 个；以OB 为一边的三角形还有4 个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC，△OBD，△OBE， △OBF；以OC 为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF 共3 个；以OD 为一边的三角形有△ODE，△ODF 共2 个；以OE 为一边的三角形有△OEF 一个．所以，共有三角形 5+4+3+2+1=15(个)． 说明 其实，不同的三角形数目等于线段AF 中不同线段的条数．一般地，当原三角形的一条边上有n+1 个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2. 例3(1)图1－67 中一共有多少个长方形？ (2)所有这些长方形的面积和是多少？ 解(1)图中长的一边有5 个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有 1+2+3+4=10(条)． 同样，宽的一边上不同的线段也有10 条． 所以，共有长方形 10×10=100(个)． (2)因为长的一边上的 10 条线段长分别为 5，17，25，26，12，20，21，8，9，1， 宽的一边上的 10 条线段长分别为 2，6，13，16，4，11，14，7，10，3． 所以，所有长方形面积和为 (5×2+5×6+…+5×3) +(17×2+17×6+…+17×3) +…+(1×2+1×6+…+1×3) =(5+17+…+1)×(2+6+…+3) = 144×86=12384． 例 4 图 1－68 中共有多少个三角形？ 解 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两...
