数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师 1 A、等差数列知识点及经典例题 一、数列 由na 与nS 的关系求na 由nS 求na 时，要分n=1 和n≥2 两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2 )nnnSnaSSn 。 〖例〗根据下列条件，确定数列 na的通项公式。 分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解； （3）将无理问题有理化，而后利用na 与nS 的关系求解。 解答：（1） （2） ……累乘可得，故 （3） 数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师 2 二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，1()(2 )nnaadn常数 ，第二种是利用等差中项，即112(2 )nnnaaan。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。 （1）通项法：若数列{na }的通项公式为n 的一次函数，即na =An+B,则{na }是等差数列； （2）前n 项和法：若数列{na }的前n 项和nS 是2nSAnBn的形式（A，B 是常数），则{na }是等差数列。 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{na }的前n 项和为nS ，且满足111120 (2 ),2nnnnSSS Sna （1）求证：{ 1nS }是等差数列； （2）求na 的表达式。 分析：（1）1120nnnnSSS S1nS 与11nS的关系 结论； （2）由1nS 的关系式nS 的关系式na 解答：（1）等式两边同除以1nnS S 得11nS- 1nS +2=0，即1nS -11nS=2（n≥2）.∴{ 1nS }是以11S =11a =2为首项，以2 为公差的等差数列。 数列知识点梳理及经典习题 出题人：李老师 3 （2）由（1）知1nS =11S +（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴nS = 12n ,当n≥2 时，na =2nS ·1nS =12 (1)n n 。又 112a ，不适合上式，故1(1)21(2)2 (1)nnann n 。 【例】 已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1.其前 n 项和 Sn 满足 2Sn＝2pa2n＋an－p(p∈R)，则{an}的通项公式为________． a1＝1，∴2a1＝2pa21＋a1－p， 即2＝2p＋1－p，得p＝1. 于是2Sn＝2a2n＋an－1. 当n≥2 时，有2Sn－1＝2a2n－1＋an－1－1，两式相减，得2an＝2a2n－2a2n－1＋an－an－1，整理，得2(an＋an－1)·(an－an－1－12)＝0....
