等比数列前n 项和的公式 北京市五十五中 韩亦军 教学目标 1．掌握求等比数列前n 项和的公式及其推导过程，培养学生创造性的思维． 2．初步掌握公式的应用，培养学生的解题能力． 教学重点与难点 等比数列前n 项和公式的推导 教学过程设计 an=a1qn-1，这个公式的推导使用了迭乘法． (复习一下旧知识，为下面推导出前n 项和公式作准备，并提供了类比) 师：今天我们研究已知等比数列的首项a1，公比q，项数n(或n 项an)，求它的前n项和Sn 的计算公式． (给足够的时间鼓励学生对问题自由思考，积极解决) 生：能不能像推导等比数列通项公式的方法，列出一些等式，然后迭乘或迭加？ 师：可以试试． 生 a1=a1， a2=a1q， a3=a2q， …… an-1=an-2q， an=an-1q． 将上面n 个等式的等号两边分别相加，得 a1＋a2＋a3＋…＋an-1＋an=a1＋a1q＋a2q＋…＋an-2q＋an-1q 等号左边就是Sn，右边是…… (诱导一下) 师：可将右边适当变形，再观察它与Sn 的关系，注意上式对n≥2 时成立． 生：Sn=a1＋q(a1＋a2＋…＋an-2＋an-1) 师：等号右边括号里是数列{an}若干项的和，可以用什么符号来表示？与Sn 的关系又是什么？ (及时点拔，可加深学生对符号Sn 的理解，最后一个问题也是推导公式的关键一步) 生：等号右边的括号里就是Sn-1，上面等式可以写成 Sn=a1＋qSn-1=a1＋q(Sn－an)． 以下只需解出Sn 即可． (“方程”在中学代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决) 师：(纠错)能否在等号两端同除(1－q)？ 生：应分q=1 和q≠1 讨论． (分类讨论也是重要的数学思想方法) 师：因为 S1=a1，所以此式对n=1 也成立．(帮助学生完善证明过程) 生：当q=1 时，数列{an}为常数列a1，a1，…，Sn=na1 (及时归纳小结) 师：我们根据等比数列的定义，用迭加的方法推导出了等比数列｛an｝的前 n 项和公式 (板书) 如果已知 a1，n，q，则当q≠1 时，Sn 的公式是什么； (学生演算、口答，教师板书) 生：将 an=a1qn-1 代入，得 生：老师，我还有一种证法． 师：你是如何证明的？(学生口述，教师板书．) 当q=1 时，Sn=na1． 师：非常好！这位同学围绕等比数列的基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． (公式虽已导出，还可以再引导学生把思维发散开) 师：还有没有其他的推导方法？ (板书) Sn=a1＋a2＋...
