1 解析几何综合3 大考点考点一定点、定值问题[例 1]已知椭圆 C：x2a2＋y2b2＝ 1(a＞b＞0)的右焦点 F(3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2. (1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点M，N，若点 B 在以线段 MN 为直径的圆上，证明直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．[解](1)由题意得， c＝3，ab＝ 2，a2＝b2＋c2，∴ a＝2，b＝1，∴椭圆 C 的标准方程为 x24 ＋y2＝1. (2)证明：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由y＝kx＋m，x24 ＋y2＝1，消去 y 可得 (4k2＋1)x2＋8kmx＋ 4m2－4＝0. ∴Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝－8km4k2＋ 1，x1x2＝4m2－44k2＋1 . 点 B 在以线段 MN 为直径的圆上，∴BM―→· BN―→ ＝0. BM―→· BN―→＝(x1，kx1＋m－1) ·(x2，kx2＋ m－ 1)＝ (k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋ (m－1)2＝0，∴(k2＋1)4m2－44k2＋1 ＋k(m－1)－8km4k2＋1＋(m－1)2＝0，整理，得5m2－2m－3＝0，解得 m＝－ 35或 m＝1(舍去 )．∴直线l 的方程为 y＝kx－35. 易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为)53,0(. [解题技法 ]圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．[题组训练 ]1.如图，已知直线l：y＝kx＋1(k＞0)关于直线 y＝x＋1 对称的直线为l1，直线 l ，l 1 与椭圆 E：x24 ＋y2＝1 分别交于点 A，M 和 A，N，记直线 l1 的斜率为 k1. (1)求 k·k1 的值；(2)当 k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．解： (1)设直线 l 上任意一点P(x，y)关于直线 y＝x＋1 对称的点为P0(x0，y0)，直线 l 与直线 l1 的交点为 (0,1)，∴ l：y＝kx＋1， l1：y＝k1x＋ 1，2 k＝y－1x，k1＝y0－1x0，由 y＋y02＝x＋x 02＋1，得 y＋y0＝x＋x0＋2，①由 y－y0x－x0＝－ 1，得 y－y0＝x0－x，②由①②得y＝x0＋ 1，y0＝x＋ 1，∴k·k1＝yy0－ y＋y0 ＋1xx0＝ x＋1x0＋1 － x＋x0＋2 ＋1xx0＝1. (2)由y＝kx＋ 1，x24 ＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋ 8kx＝0，设 M(xM，yM)，N(xN，...
