第十一章无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)nnnax在1x处收敛，则该幂级数在52x处必然 ( )(A) 绝对收敛 ; (B) 条件收敛 ; (C) 发散 ; (D) 收敛性不定 .2、下列级数条件收敛的是( ).(A) 1( 1);210nnnn(B) 131( 1);nnn(C) 111( 1)() ;2nnn(D) 113( 1).nnn3、若数项级数1nna 收敛于 S ，则级数121nnnnaaa( )(A) 1;Sa(B) 2;Sa(C) 12;Saa(D) 21.Saa4、设 a 为正常数，则级数21sin3nnann( ).(A) 绝对收敛 ; (B) 条件收敛 ; (C) 发散 ; (D) 收敛性与 a 有关 .5、设2( ),01f xxx≤，而1( )sinπ ,nnS xbn xx，其中102( )sinπ ,(1,2,)nbf xn xnL，则1()2S等于 ( )(A) 1 ;2(B) 1 ;4(C) 1 ;4(D) 12.二、填空题1、 设14nnu，则111()22nnnu( )2、 设111nnnax的收敛域为2,4，则级数11nnnnax的收敛区间为 ( )3、 设32,10( ),01xf xxx≤≤，则以 2 为周期的傅里叶级数在1x处收敛于 ( )4、 设2( )π,ππf xxxx<的傅里叶级数为01cossin,2nnnaanxbnx则3b( )5、级数1( 1) 221 !nnnn的和为 ( )三、计算与应用题1、求级数113;3nnnxn的收敛域2、求2111 2nnn的和3、将函数2( )ln 12f xxx展开为 x 的幂级数，并求(1) 0nf4、求2012!nnnnxn的和函数5、 已知( )nfx 满足1( )( )enxnnfxfxx， n 为正整数，且e(1)nfn，求函数项级数1nnfx 的和函数 .6、 设有方程10nxnx，其 n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当1 时，级数1nnx收敛 .四、证明题设π40 tandnnax x（1）求211nnnaan（2）试证：对任意常数0 ，级数1nnan收敛提示：2111nnaann n，2111nnnaan.因为211nnaan,所以111nann,1111nnnann第十一章无穷级数测试题答案与提示一、1、A； 2、D；3、B；4、C；5、 B.二、1、1；2、4,2 ；3、 32；4、 2π3； 5、 cos1 sin1.三、1、答案：0,6 .2、答案： 53 ln 284提示：原式为级数211nnxn的和函数在12x点的值 .而22221121211nnnnnnxxxnnn,分别求出2121nnxn和2121nnxn的和函数即可 .3、答案：110( 1)21 1( ),,12 2nnnnf xxxn1(1)( 1)20!1nnnfnn.提示 : 2( )ln 12ln 12ln 1f xxxxx4、答案：222011 e1,2!42xnnnnxxxxn提示：2011112!1 !2!2nnnnnnnnnxxxnnn，而1011e,e1 !!xnxnnnxxxnn5、答案：1e ln 1,1,1xnnfxxx提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为( )exnxfxn111eexxnnnnxxfxnn，记1( )nxS xn，则可...
