完整由递推公式求通项的9种方法经典总结,推荐文档VIP免费

1 精析由递推公式求通项的9 种方法1．an＋1＝ an＋ f(n)型把原递推公式转化为an＋1－a n＝f(n)，再利用累加法 (逐差相加法 )求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋⋯＋ (an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋⋯＋ f(n－1)．[例 1]已知数列 { an}满足 a1＝12， an＋ 1＝an＋1n2＋n，求 an. [解]由条件，知an＋1－an＝1n2＋n＝1n n＋ 1＝ 1n－1n＋1，则 (a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋⋯ ＋(an－an－ 1)＝ 1－12 ＋12－13 ＋13－14 ＋⋯＋1n－1－1n ，所以 an－a1＝1－1n. 因为 a1＝12，所以 an＝12＋1－1n＝32－1n. 2．an＋1＝f(n)an型把原递推公式转化为an＋1an ＝f(n)，再利用累乘法 (逐商相乘法 )求解， 即由 a2a1＝f(1)，a3a2＝f(2)，⋯， anan－1＝f(n－1)，累乘可得 ana1＝f(1)f(2)⋯f(n－1)．[例 2]已知数列 { an}满足 a1＝23， an＋ 1＝nn＋1·an，求 an. [解]由 an＋1＝nn＋1·an，得an＋1an ＝nn＋1，故 an＝anan－1·an－1an－2·⋯·a2a1·a1＝n－1n×n－2n－1×⋯× 12×23＝ 23n.即 an＝23n. 3．an＋1＝pan＋q(其中 p，q 均为常数， pq(p－1)≠0)型对于此类问题， 通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为 an＋1＋t＝p(an＋t)，比较系数可知t＝qp－1，可令 an＋1＋t2 ＝bn＋1换元即可转化为等比数列来解决．[例 3]已知数列 { an}中， a1＝ 1，an＋ 1＝2an＋3，求 an. [解]设递推公式an＋1＝2an＋ 3 可以转化为an ＋1－ t＝2(an－t)，即 an＋1＝ 2an－t，则 t＝－3. 故递推公式为an＋1＋3＝ 2(an＋ 3)．令 bn＝an＋3，则 b1＝ a1＋ 3＝4，且bn＋1bn ＝an＋ 1＋3an＋3＝2. 所以 {bn} 是以 b1＝ 4 为首项， 2 为公比的等比数列．所以 bn＝4×2n－1＝2n＋1，即 an＝2n ＋1－3. 4．an＋1＝pan＋qn(其中 p，q 均为常数， pq(p－1)≠0)型(1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得an＋1qn＋1＝pq·anqn＋1q，引入辅助数列 {bn} 其中 bn＝anqn ，得 bn＋1＝pq·bn＋1q，再用待定系数法解决；(2)也可以在原递推公式两边同除以pn＋1，得 an＋1pn＋1＝anpn＋1p· qpn，引入辅助数列 {bn} 其中 bn＝anpn ，得 bn＋1－bn＝1pqpn，再利用叠加法 (逐差相加法 )求解．[例 4]已知数列 { an}中， a1＝56，an＋ 1＝13an＋12n＋ 1，求 an. [解]法一 ：在 an＋ 1＝13an＋12n＋1 两边乘以 2n＋1，得 2n＋ 1...