射线定理解高考立体几何题VIP专享VIP免费

陕西定边县第三中学白治清从一点发出的不在同一平面内的三条射线，形成三种空间角（即“线线角”、“面面角”与“线面角”）。这三种空间角之间的关系问题，是立体几何的一个基本问题，在立体几何的计算、证明中有着十分广泛的应用，本文将探寻这三种空间角之间的关系，得出三射线定理，并用三射线定理解立体几何高考题。一、由“线线角”求“面面角”定理 1 OA、OB、OC是不在同一平面内的三条射线，如果∠BOC= 1 ，∠COA=2，∠AOB=3 ，二面角 C— OA— B，A— OB— C与 B— OC— A的平面角分别等于β1 、β 2 、β 3 ，那么cosβ 1 = 32321sinsincoscoscos，①cosβ 2 = 13132sinsincoscoscos，②cosβ 3 = 21213sinsincoscoscos，③证明： 先证明①，分 5 种情况：（1）2与3 ，均为锐角 .如图 1，在 OA上取一点 P，使 OP=1.在平面 AOB内，作 PM⊥OA，交 OB于 M；在平面AOC内，作 PN⊥OA，交 OC于 N.连结 MN，∠NPM=β 1 . PN=tan2，PM= tan3 ，ON=sec 2 ，OM=sec 3 ，在△ PMN与△ OMN中应用余弦定理，得MN2=tan22 + tan23 -2tan3 tan2 cosβ 1=sec22+ sec2 3-2sec2sec3cos1 . 用1、2、3 的三角函数表示cosβ 1，得cosβ 1 = 32321sinsincoscoscos（2）2与3中有一个锐角，一个钝角.如图 2，不妨设3为锐角，2为钝角，作 OC的反向延长线 OD.因为二面角 D-OA-B与C-OA-B“互补”，所以 D-OA-B的平面角等于1 . ∠BOD=.,21AOD对于射线 OA、OB、OD应用（ 1）， 得cos（1 ）=32321sin)sin(cos)cos()cos(，即 cos132321sinsincoscoscos.（3）2与3均为钝角 .如图 3， 作 OB、OC的反向延长线 OD、OE，二面角 D-OA-E与 C-OA-B是“对顶角”，所以 D-OA-E的平面角等于β1 . 1DOE，2AOE，3AOD. 对于射线 OA、OD、OE应用（ 1），得cos1)sin()sin()cos()cos(cos3232132321sinsincoscoscos .（4）2与3中有一个直角 . 图 3 如图 4，不妨设2 =.223，在平面 AOB内作 OD⊥OA，则∠ COD=β 1 . 若 β 1≠,2因 为 ， 不 论3 是 锐 角 还 是 钝 角 ， 都 有∠BOD=，223二面角 B-OD-C是直二面角，对于射线OD、OC、OB应用（ 1）、（2）、（3) ，得cos2=13131sin2sincos2coscos，即 cos132sincos另一方面，直接应用①，得cosβ1=31331sincossin2sincos2coscos.若β1=2，则 cosβ1=0，这时，.21另一方面，直接应用①，得cosβ1=.0sin2sinc...