为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数 人民教育出版社中学数学室 章建跃 在人教版《普通高中实验教科书·数学4·必修（A 版）》（简称“人教A 版”）中，三角函数采用了如下定义（简称“单位圆定义法”）： “如图 1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： （1）y 叫做α的正弦，记作 sinα，即 sinα=y； （2）x 叫做α的余弦，记作 cosα，即 cosα=x； （3）叫做α的正切，记作 tanα，即 tanα=（x≠0）． 可以看出，当α=(k∈Z)时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标x 等于 0，所以无意义．除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．” 1．部分教师的疑惑和意见 由于种种原因，实验区有的教师对上述定义不理解，认为该定义不如以往教材采用的定义，即在角α的终边上任取一点 P(x，y)，P 到原点的距离为r，比值，，分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数（简称“终边定义法”）．其理由主要有以下几点： 第一，“单位圆定义法”中，“交点是特殊的，缺乏一般性，不符合数学定义的要求”；“终边定义法”中，“所取得点是任意的，具有一般性，符合数学定义的要求”．有的老师说，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”． 第二，“单位圆定义法”不利于将锐角三角函数推广到任意角三角函数；“终边定义法”有利于这种推广．有的老师说，“用单位圆上点的坐标定义正弦、余弦函数带来了不少便利，其根本原因是它化简了三角函数的比值．而用单位圆上点的坐标定义正切函数，由于它未能化简三角函数的比值，所以它就没有什么特别的意义．” 第三，“单位圆定义法”不利于解题．有的老师说，在解“已知角α终边上一点的坐标是（3a,4a）,求角α的三角函数值”时，用“终边定义法”非常方便，而用“单位圆定义法”很不方便． 为了解答老师们的疑问，我们首先从回顾三角函数的发展历史开始． 2．对三角函数发展历史的简单回顾 回顾三角学发展史，可以发现它的起源、发展与天文学密不可分，它是一种对天文观察结果进行推算 的方法．1450 年 以前 ，三角学主要是球 面 三角，这是航 海 、立 法推算 以及天文观测 等 人 类 实践 活 动 的需 要，同 时也 是宇 宙 的奥 秘 对人 类 的巨 大 吸 引 ...
