《图像处理中的数学方法》实验报告 学生姓名：*** 教师姓名：曾理 学院：数学与统计学院 专业：信息与计算科学 学号：******** 联系方式：1 3 9 ****1 6 4 5 梯 度 和 拉 普 拉 斯 算 子 在 图 像 边 缘 检 测 中的应用 一、数学方法 边缘检测最通用的方法是检测灰度值的不连续性，这种不连续性用一阶和二阶导数来检测。 1. （1）一阶导数：一阶导数即为梯度，对于平面上的图像来说，我们只需用到二维函数的梯度，即： ∇f = [ᵅᵆᵅᵆ] = [ᵱᵅᵱᵆᵱᵅᵱᵆ] ,该向量的幅值：∇f = mag(∇ᵅ) = [ᵅᵆ2 + ᵅᵆ2] 1/2 =[(ᵱᵅ/ᵱᵆ)2 + (ᵱᵅ/ᵱᵆ)2] 1/2,为简化计算，省略上式平方根，得到近似值∇f ≈ ᵅᵆ2 + ᵅᵆ2；或通过取绝对值来近似，得到：∇f ≈ |ᵅᵆ| + |ᵅᵆ|。 （2）二阶导数：二阶导数通常用拉普拉斯算子来计算，由二阶微分构成： ∇2ᵅ(ᵆ,ᵆ) = ᵱ2ᵅ(ᵆ,ᵆ)ᵱᵆ2+ ᵱ2ᵅ(ᵆ,ᵆ)ᵱᵆ2 2. 边缘检测的基本思想： （1） 寻找灰度的一阶导数的幅度大于某个指定阈值的位置； （2） 寻找灰度的二阶导数有零交叉的位置。 3. 几种方法简介 （1） Sobel 边缘检测器：以差分来代替一阶导数。Sobel 边缘检测器使用一个3×3 邻域的行和列之间的离散差来计算梯度，其中，每行或每列的中心像素用2 来加权 ，以提 供 平滑 效 果 。∇f = [ᵅᵆ2 + ᵅᵆ2] 1/2 = {[(ᵆ7 + 2ᵆ8 + ᵆ9) − (ᵆ1 + 2ᵆ2 +ᵆ3)] 2 + [(ᵆ3 + 2ᵆ6 + ᵆ9) − (ᵆ1 + 2ᵆ4 + ᵆ7)] 2}1/2 -1 -2 1 0 0 0 1 2 1 -1 0 1 -2 0 2 -1 0 1 （2） Prew itt 边缘检测器:使用下图所示模板来数字化地近似一阶导数。与 Sobel 检测器相比，计算上简单一些，但产生的结果中噪声可能会稍微大一些。 ᵅᵆ = (ᵆ7 + ᵆ8 + ᵆ9) − (ᵆ1 + ᵆ2 + ᵆ3) ᵅᵆ = (ᵆ3 + ᵆ6 + ᵆ9) − (ᵆ1 − ᵆ4 − ᵆ7) -1 -1 -1 0 0 0 1 1 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 （3） Roberts 边缘检测器：使用下图所示模板来数字化地将一阶导数近似为相邻像素之间的差，它与前述检测器相比功能有限（非对称，且不能检测多种45°倍数的边缘）。 ᵅᵆ = ᵆ9 − ᵆ5 ᵅᵆ = ᵆ8 − ᵆ6 -1 0 0 1 0 -1 1 0 （4） Laplace 边缘检测器：二维函数f(x, y)的拉普拉斯是一个二阶的微分定义： ∇2ᵅ(ᵆ,ᵆ)...
