模型三蝴蝶模型 （任意四边形模型）任意四边形中的比例关系( “蝴蝶定理” ) ：S4S3S2S1ODCBA①1243::SSSS 或者1324SSSS②1243::AO OCSSSS蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例 1】 ( 小数报竞赛活动试题) 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为 1 平方千米， △BOC面积为 2 平方千米 ，△ COD的面积为3 平方千米，公园由陆地面积是6．92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】 根据蝴蝶定理求得3 121.5AODS△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是 1231.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC？ABCDG321【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCSV，那么6BGCSV；⑵根据蝴蝶定理，:12 : 361: 3AG GC． (？？？ )任意四边形、 梯形与相似模型【例 2】 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ( 如图所示 )。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的 13，且2AO，3DO，那么 CO的长度是 DO 的长度的 _________倍。ABCDOHGABCDO【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSSVV，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形” ，于是可以作AH 垂直 BD 于 H ， CG 垂直 BD 于 G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一： ::1:3ABDBDCAO OCSS，∴236OC，∴:6:32:1OC OD．解法二：作AHBD 于 H ， CGBD 于 G ． 13ABDBCDSS，∴13AHCG ，∴13AODDOCSS，∴13AOCO ，∴236OC，∴:6:32:1OC OD．【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF△、OE...
