2009 届高考数学压轴题预测专题二数列1.已知函数2( )1f xxx， ,是方程 f ( x) ＝0 的两个根 () ，'( )fx 是 f ( x) 的导数；设11a，1()'()nnnnf aaafa( n＝1， 2，⋯⋯ ) (1) 求,的值； (2) 证明：对任意的正整数n，都有na ＞a； (3) 记lnnnnabaa( n＝1，2，⋯⋯ ) ，求数列 { bn} 的前 n 项和 Sn。解析： (1) 2( )1f xxx，,是方程 f ( x) ＝0 的两个根 () ，∴1515,22； (2)'( )21fxx，21115(21)(21)12442121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa＝5114(21)4212nnaa， 11a，∴有基本不等式可知25102a( 当且仅当1512a时取等号 )，∴25102a同，样3512a，⋯⋯，512na( n＝1，2，⋯⋯ ) ， (3)1()()(1)2121nnnnnnnnaaaaaaaa，而1 ，即1，21()21nnnaaa，同理21()21nnnaaa，12nnbb ，又113535lnln2ln1235b2.已知数列na的首项121aa（a 是常数，且1a），24221nnaann（2n），数列nb的首项1ba ，2nabnn（2n）。（1）证明：nb从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列；（2）设nS 为数列nb的前 n 项和，且nS是等比数列，求实数a 的值；（3）当 a>0 时，求数列na的最小项。分析：第（ 1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由 a 的不同而要分类讨论。解：（1） 2nabnn∴22211)1(2)1(4)1(2)1(nnnanabnnnnnbna2222(n ≥2) 由121aa得24aa ，22444baa， 1a，∴20b，即 {}nb从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列。（2）1(44)(21)34(22)221nnnaSaaa当 n≥2 时，111(22)234342(22)234(1)234nnnnnSaaaSaaaa }{nS是等比数列 , ∴1nnSS(n ≥2) 是常数，∴3a+4=0，即43a。（3）由（ 1）知当2n时，2(44)2(1)2nnnbaa，所以221(1)(1)2(2)nnanaann，所以数列na为 2a+1，4a，8a-1 ， 16a，32a+7，⋯⋯显然最小项是前三项中的一项。当1(0,)4a时，最小项为8a-1 ；当14a时，最小项为4a 或 8a-1 ；当1 1(,)4 2a时，最小项为4a；当12a时，最小项为4a 或 2a+1；当1(,)2a时，最小项为2a+1。点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。考点二：求数列的通项与求和3.已知数列 {}na中各项为： 12 、1122、111222、⋯⋯、 111n个222n个⋯⋯（ 1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （ 2）求这个数列前n 项之和 Sn . 分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。解：（1）12(101) 10(101)9...
