1、Solve the recurrence relation an=an-1+ an-2 with a0= a1=1 using generating function. 2、Determine the number of the terms in the expansion of (x1+ x1+⋯+ x10)20.3、将 m 个无区别的球，放入n 个有区别的盒子，在允许有空盒和不允许有空盒两种情况下分别讨论可能的放法数。4、求 n 元集合到 m 元集合单射、满射、双射的个数。5、用容斥原理求1~n 中与 n 互素的元素个数。6、是个群，x∈G，定义 G中的运算“ ”为 a b=a*x*b ，对a,b∈G，证名 也是群。证明： 1） a,b ∈G，a b=a*x*b ∈G，运算是封闭的。2）a,b,c ∈ G，（a b）c=（a*x*b ）*x*c=a*x* （b*x*c ） =a （b c），运算是可结合的。3） a∈G，设 E为 的单位元，则 a E=a*x*E=a，得 E=x-1，存在单位元。4） a∈G，a x-1*a-1*x-1=a*x* x-1*a-1*x-1= x-1=E，x-1*a-1*x-1 a = x-1*a-1*x-1* x* a=x-1=E,a 的逆元为x-1*a-1*x-1，每个元素都有存在。所以 也是个群7、设 是有限交换群， a,b ∈G，|a|=m,|b|=n,m,n是整数，且GCD（m,n）=1 即 m,n 互素，证明： |ab|=mn 证明：设 |ab|=k ，因为 (ab)mn= (ab)(ab)⋯(ab)=(am)n(bn)m=e, 所以 k|mn, e=((ab)k)m=(ab)km=(akm)(bkm)= bkm, 所以 n|km, 由于 GCD（m,n）=1，所以 n|k 同理可求，所以 m|k. 所以有 mn|k，mn=k ,|ab|=mn8、设是环，1 是其乘法幺元，在S上定义运算和：a b＝a＋b＋1，ab＝a＋b＋a· b。（1）证明 是一个环。（2）给出 的关于运算和的单位元。证明：（ 1）对任意 a、b、c∈S，则（a b）c＝a b＋c＋1＝a＋b＋c＋1＋1，a （bc）＝ a＋bc＋1＝a＋b＋c＋1＋1，于是（ a b）c＝a （b c），即满足结合律。a b＝a＋b＋1＝b＋a＋1＝b a，所以是可交换的。a （-1 ）＝ a＋（ -1 ）＋ 1＝a＝（-1 ）a，所以-1 是单位元。a （-1-1- a）＝a＋（ -1-1- a）＋1＝-1 ＝（ -1-1- a）a，所以-1-1- a 是 a 的逆元。综上可知， 是一个交换群。（2）（ab） c＝ab＋c＋（ab）· c＝a＋b＋a· b＋c＋（a＋b＋a· b）· c ＝a＋b＋a· b＋c＋a· c＋b· c＋a· b· ca（bc）＝ a＋bc＋a· （ bc）＝a＋b＋c＋b· c＋a· （ b＋c＋b· c）＝a＋b＋c＋b· c＋a· b＋a· c＋a· b· c所以（ ab）c＝a（bc），即满足...
