17两个重要极限练习题VIP免费

严谨 规范 求真 铸魂 1 -7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限xxxsinlim0 问题1：观察当x0 时函数的变化趋势： x(弧度) 0.50 0.10 0.05 0.04 0.03 0.02 ... xxsin 0.9585 0.9983 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 ... 当x 取正值趋近于0 时，xxsin1，即0limxxxsin=1； 当x 取负值趋近于0 时，-x0, -x>0, sin(-x)>0．于是 )()sin(limsinlim00xxxxxx． 综上所述，得 一．1sinlim0xxx． 1sinlim0xxx的特点： (1)它是“00 ”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是00 ； (2)在分式中同时出现三角函数和 x 的幂． 推广 如果ax lim (x)=0,( a 可以是有限数x0, 或)， 则 ax lim  xxsin=   xxxsinlim0=1． 例1 求xxxtanlim0． 解 xxxtanlim0=111cos1limsinlimcos1sinlimcossinlim0000xxxxxxxxxxxxx． 例2 求xxx3sinlim0． 解 xxx3sinlim0=3sinlim3)3(33sin3lim00tttxxxtx令． 例3 求20cos1limxxx． 解 20cos1limxxx=2122sin22sin21lim)2(22sinlim2sin2lim0220220xxxxxxxxxxx． 例4 求xxxarcsinlim0． 严谨 规范 求真 铸魂 解 令arcsinx =t，则x =sint 且x 0 时t0． 所以xxxarcsinlim0=1sinlim0ttt． 例5 求30sintanlimxxxx． 解 30sintanlimxxxx=3030coscos1sinlimsincossinlimxxxxxxxxxx =21cos1limcos1limsinlim2000xxxxxxxx． 考察极限exxx)11(lim 问题2：观察当x +时函数的变化趋势： x 1 2 10 1000 10000 100000 100000 ... xx )11(  2 2.25 2.594 2.717 2.7181 2.7182 2.71828 ... 当x 取正值并无限增大时， xx )11( 是逐渐增大的，但是不论x 如何大， xx )11( 的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x +时，可以验证 xx )11( 是趋近于一个确定的无理数e＝2.718281828...． 当x -时，函数 xx )11( 有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e． 综上所述，得 二．xxx )11(lim=e． xxx )11(lim=e 的特点： （１）lim(1+无穷小) 无穷大案 ； （２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数． 推广 （１）若ax lim...