1 / 12 平面向量与向量的方法的应用（一）（教师版）一、用向量表示三角形的“心”（重心、内心、垂心、外心）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为, ,a b c ．三角形“四心”的向量的统一形式：X 是ABC 的心0XAXBXC．引理：若 X 是ABC 内的一点，则::::XBCXACXABSSS0XAXBXC．证明：这里只证明0XAXBXC::::XBCXACXABSSS（,,均为正数） ．作 XMXA， XNXB ， XPXC ，则0XMXNXP．容易证明点 X 为MNP 的重心．于是1 |||| sin21 ||||sin2XBCXNPXBXCBXCSSXNXPNXP1，所以1XBCXNPSSMNPS，同理XACMNPSS，XABMNPSS，所以::::XBCXACXABSSS．取XBCS，则XACS，XABS，0XBCXACXBASXASXBSXC．练习：1．0GAGBGCG 是ABC 的 ________心．2．0a IAb IBc ICI 是ABC 的________心．3． sin 2sin 2sin 20A OAB OBC OCO 是ABC 的________心．222OAOBOCO 是ABC 的 ________心．4． H 在ABC 内部，则 tantantan0A HAB HBC HCH 是ABC 的________心．HA HBHB HCHC HAH 是ABC 的________心．222222HABCHBACHCABH 是ABC 的 ________心．当你学完正弦定理和余弦定理后，会有更多的表示方法．5．||||ABACABAC所在直线一定通过ABC 的 ________心．6． ABAC 所在直线一定通过ABC 的________心．7．|| cos|| cosABACABBACC所在直线一定通过ABC 的 ________心．8 ． 已 知,,A B C 是 坐 标 平 面 内 不 共 线 的 三 点 ， O 是 坐 标 原 点 ， 动 点 P 满 足1[ (1)(1)(12)]3O PO AO BO C（R ），则点 P 的轨迹一定经过ABC 的________心．（ 答案 ： 1．重心 ． 2．内 心． 3 ． 外心． 4 ． 垂心 （提 示： H 为ABC 的 垂 心HAHBHB HCHCHA．因为H在ABC内部，所以|| ||cosHA HBHAHBBHA|| ||cosHAHBC2cossin(180)HABSCC， 所 以t a nHABSH AH BC，同理tanHACSHA HCB ，tanHBCSHB HCA ．又0XBCXACXBASXASXBSXC，所以2 / 12 tantantan0A HAB HBC HC）． 5．内心． 6．重心． 7．垂心．提示：设AP()|| cos|| cosABACBCABBACC|||| 0BCBC）） 8 ． 重 心 ． 提 示 ：1[()() ]3O PO AO BO CO CO AO CO B1[)() ]3O AO BO CA CB C，所以()APBPCPCACB，设C DC AC，则3()CACBCPCACB，即 3(1)CPCD ．因为 OD 经过 AB 的中点，,,C P D 三点共线，所以P 的轨迹一定经过ABC 的重心．）二、三角形形...
