条件概率•1．如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，显然知道了A的发生，研究事件B时，基本事件空间发生变化，从而B发生的概率也相应的发生变化，这就是条件概率要研究的问题．2．求条件概率时一般应用公式P(B|A)＝P(AB)P(A)求解，其推导如下：在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生．对于古典概型，由于组成事件A的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率为P(B|A)＝n(AB)n(A).为了把条件概率推广到一般情形，我们对上述公式作如下变形：P(B|A)＝n(AB)n(A)＝n(AB)/n(Ω)n(A)/n(Ω)＝P(AB)P(A)，因此有P(B|A)＝P(AB)P(A).3．应特别注意公式P(B|A)＝P(AB)P(A)中，分子是事件AB发生的概率，不是事件B发生的概率．•[例1]掷两颗均匀的骰子，问•(1)至少有一颗是6点的概率是多少？•(2)在已知它们点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率又是多少？•[分析]此题(2)即为条件概率，条件是两颗骰子点数不同，可用条件概率计算公式求解．[解析](1)对两颗骰子加以区别，则共有36种不同情况，它们是等可能的．设A＝“至少有一颗是6点”，则事件A共包含11种不同情况，∴P(A)＝1136.(2)由(1)知，共有36种不同情况．又设B＝“两颗骰子点数不同”，则事件A·B共包含10种不同情况．∴P(A|B)＝P(A·B)P(B)＝10/3630/36＝13.[点评]事件B＝“两颗骰子点数不同”的概率P(B)＝3036，问题(2)就是在B发生条件下A发生的概率．因为事件A·B中去掉基本事件(6,6)，只有10个基本事件，从而A与B同时发生的概率P(AB)＝1036，从而可求(2)．故解决条件概率问题的关键是求得事件同时发生的概率及作为条件的事件发生的概率．•[例2]一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么．•(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？•(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？•[分析]由题目可获取以下主要信息：•①口袋内两种颜色球的个数；②分两次摸白球．•解答本题可先分析两个问题的不同之处，再按要求解答．•[解析](1)记“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸白球”为A∩B，先摸1球不放回，再摸1球共有4×3种结果．(2)记“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，两次都摸出白球为事件A1∩B1.∴P(A1)＝24＝12，P(A1∩B1)＝2×24×4＝14，∴P(B1|A1)＝P(A1∩B1)P(A1)＝1412＝12.即先摸1个白球不放回，再摸1个白球的概率为13；先摸1个白球后放回，再摸1个白球的概率为12.•[点评]此类问题，必须搞清题目是放回还是不放回，并且明确计算时的差别．•[例3]设10件产品中有4件不合格，从中任意取出2件，那么在所取得的产品中发现有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．•[分析]由题目可获取以下主要信息：①已知产品的数量及不合格品件数．②任取2件产品中有一件为不合格品．•解答本题可先设出两个事件分别为A，B，再求概率P(B|A)．[解析]设事件A为“在所取得的产品中发现有一件不合格品”，事件B为“另一件产品也是不合格品”，则P(A)＝1－P(A)＝1－C26C210＝23，P(A∩B)＝C24C210＝215.因此P(B|A)＝P(A∩B)P(A)＝15.本题也可直接利用公式P＝mn进行计算，在所取得的产品中发现有一件不合格品的取法有n＝C210－C26种，两件产品均为不合格品的取法有m＝C24种，所以P(B|A)＝mn＝C24C210－C26＝15.•[例4]在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．•[分析]解本题的关键是设出相关事件，再由概率公式及条件概率的性质计算即可．•[解析]设D为“该考生在这次考试中通过”，则事件D包含事件A＝{该考生6道题全答对}，事件B＝{该考生6道题中恰答对5道}，事件C＝{该考生6道题中恰答对4道}．设E＝{该考生获得优秀}，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝C610C620＋C510C110C620＋C410C210C620，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝P(A)P(D)＋P(B)P(D)＝C610C620C610＋C510C110＋C410C210C620＋C510C110C620C610＋C510C110＋C410C210C620＝1358.故所求的概率为1358.•[点评]解此类题时利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使求有些条件概率时更为简捷，但应注意B，C互斥这一前提条件．
