假币问题 减治法的设计思想就是规模为 n 的原问题的解与较小规模（通常是 n/2）的子问题的解之间具有关系： （1）原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中； （2）原问题的解与其中一个较小规模的解之间存在某种对应关系。 由于原问题的解与较小规模的子问题的解之间存在这种关系，所以，只需求解其中一个较小规模的子问题就可以得到原问题的解。一旦建立了这种关系，我们既可以从顶至下（递归地），也可以从底至上（非递归地）地来运用该关系。减治法有 3 种主要的变种： a)减去一个常量； b)减去一个常量因子； c)减去的规模是可变的。 减治法只对一个子问题求解，并且不需要进行解的合并。应用减治法（例如减半法）得到的算法通常具有如下递推式： 所以，通常来说，应用减治法处理问题的效率是很高的，一般是 O(n2log )数量级。 本文主要讲的是假币问题。这是一个经典的数学谜题，曾在 Beasley(1990)及赵文敏(1995)所著的趣味数学书中介绍过，其本质与 Bundy(1996)所讨论的 Odd Ball Problem 属同类问题，但三人的解法不一样。在识别假币问题的多种版本中，我们考虑最能够体现出减常因子策略的那个版本——单假币问题。 在 n 枚外观相同的硬币中，有一枚是假币，并且已知假币较轻。可以通过一架天平来任意比较两组硬币，从而得知两组硬币的重量是否相同，或者哪一组更轻一些，但不知道轻多少。我们的问题是，要求设计一个高效的算法来检测出这枚假币。该问题的一个较简单的版本——就是我们这里所讨论的——假设假币比真币重还是比真币轻是已知的（我们假设假币较轻）。它的复杂版本我们会在后面做详细的介绍。 解决这个简化版假币问题的最自然的思路是把 n 枚硬币分成两堆，每堆有2/n枚硬币，如果 n 为奇数的话，就留下一枚额外的硬币，然后把两堆硬币放在天平上。如果两堆硬币重量相同，那么放在旁边的硬币就是假币；否则我们可以用同样的方式对较轻的一堆硬币进行处理，这堆硬币中一定包含那枚假币。注意，即使我们把硬币分成了两个子集，但在每次称重之后，我们只需要解决一个规模为原来一半的问题。所以，根据我们对设计技术的分类，它是一个减（减半）治算法而不是一个分治算法。 算法伪代码如下： Check_Coin_2(a[n]) //实现用来查找数组中假币位置的算法 //输入：一个整数数组 a[n] //输出：假币所在的数组位置 i； if(n>1) 111)2/(0)(nnnTnTif(n 为偶数) 把n 分成...
