均值不等式公式总结及应用VIP免费

均值不等式应用 1. (1)若Rba,，则abba222 (2)若Rba,，则222baab （当且仅当ba 时取“=”） 2. (1)若*,Rba，则abba2 (2)若*,Rba，则abba2 （当且仅当ba 时取“=”） (3)若*,Rba，则22baab (当且仅当ba 时取“=”） 3.若0x ，则12xx (当且仅当1x 时取“=”） 若0x ，则12xx  (当且仅当1x  时取“=”） 若0x ，则11122-2xxxxxx即或 (当且仅当ba 时取“=”） 4.若0ab，则2 abba (当且仅当ba 时取“=”） 若0ab ，则22-2abababbababa即或 (当且仅当ba 时取“=”） 5.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba 时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋12x 2 （2）y＝x＋1x 解：(1)y＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞） (2)当 x＞0 时，y＝x＋1x ≥2x·1x ＝2； 当 x＜0 时， y＝x＋1x = －（－ x－1x ）≤－2x·1x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知54x ，求函数14245yxx的最大值。 解：因 450x ，所以首先要“调整”符号，又1(42) 45xx不是常数，所以对42x 要进行拆、凑项， 5 ,5404xx ，11425434554yxxxx 231   当且仅当15454xx，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max1y。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例 1. 当时，求(82 )yxx的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 2(82 )8xx为定值，故只需将(82 )yxx凑上一个系数即可。 当，即 x＝2 时取等号 当 x＝2 时，(82 )yxx的最大值为 8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式...